Ensino Superior ⇒ 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo

[MikeBillsZ]

Eu preciso resolver essa questão, mas não achei uma explicação suficiente no Youtube, nem em alguns livros como George B Thomas, pra entender os conceitos.

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Sejam um campo n-vetorial [tex3]\vec{f}:D\underset{ab.}{\subseteq}\Re^n\rightarrow\Re^n[/tex3] (i.e., com [tex3]m:=n[/tex3]) e a 1-forma [tex3]\omega:=\vec{f}\cdot d\vec{x}:D\underset{ab.}{\subseteq}\Re^n\rightarrow\Re^{n^*}[/tex3] (sendo [tex3]\Re^{n^*}:=\mathscr{L}(\Re^n,\,\Re)[/tex3] o espaço dual). Verifique que, para uma 0-forma (i.e., campo escalar) [tex3]g:D\underset{ab.}{\subseteq}\Re^n\rightarrow\Re[/tex3], são equivalentes:

[tex3]\underset{\text{é uma 1-forma exata}}{\omega:= \operatorname{d}g}\Longleftrightarrow\underset{\text{é um campo conservativo}}{\vec{f}:=\nabla g}[/tex3]

Descreva o campo 2-vetorial [tex3]\vec{f}(x,y):=1/y(-1,x/y)[/tex3] como uma 1-forma [tex3]\omega:=\vec{f}\cdot\operatorname{d}\vec{x}[/tex3] e verifique que ela é exata, i.e., [tex3]\omega=\operatorname{d}g=\nabla g\cdot\operatorname{d}\vec{x}[/tex3].

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Alguém pode me explicar o que é 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo? Eu gostaria de algum exemplo prático, além de uma explicação teórica, pra conseguir entender. Digamos...

Seja um campo vetorial [tex3]\vec f (\vec x) = ((2-x^3)y^2, x^2y^3 -2)[/tex3] que leva de [tex3]R^2[/tex3] em [tex3]R^2[/tex3] (ou seja, é um campo 2-vetorial, certo? Essa é uma nomenclatura certa?)

Quais são as 0-forma, 1-forma e 2-forma dele? E como eu uso isso pra provar que é um campo conservativo? Eu realmente fiquei muito confuso. Não sei se 0-forma é uma aplicação, se é uma forma de escrever o campo... Enfim, não entendi. Alguém pode me explicar? Obrigado, desde já.