Ensino Superior ⇒ Matemática Financeira: Juros Contínuos

[rean]

Quanto tempo um investimento leva para dobrar de valor se os juros anuais forem de 7%, capitalizados continuamente?

[adrianotavares]

Olá, rean.

[tex3]M = C_0 (1+i)^t[/tex3]
[tex3]2C_0 = C_o(1+0,07)^t[/tex3]
[tex3]2 = (1,07)^t[/tex3]

Tomando logaritmos decimais temos:

[tex3]log (1,07)^t = log 2[/tex3]
[tex3]t log (1,07) = log 2[/tex3]
[tex3]t = \frac{log 2}{log 1,07}[/tex3]
[tex3]t =\frac{ 0,3010}{0,0293}[/tex3]
[tex3]t \simeq 11[/tex3] anos

Se considerarmos [tex3]t \simeq 10[/tex3], o capital não dobrará de valor, portanto, [tex3]t \simeq 11[/tex3] anos.

[modenesi]

Olá adrianotavares e renan,

Acredito que o Renan havia sugerido capitalização CONTÍNUA e não composta. Se é isso mesmo, aí vai, Renan:

A fórmula para o montante final em juros capitalizados continuamente é um pouco diferente:
[tex3]M = Ce^{it}[/tex3]

Então para que o montante seja 2 vezes o capital inicial ([tex3]M = 2C[/tex3]), numa taxa [tex3]i = 0,07[/tex3], temos:
[tex3]2C = Ce^{0,07t}[/tex3]
[tex3]2 = e^{0,07t}[/tex3]
[tex3]\ln2 = 0,07t[/tex3]
[tex3]\frac{\ln2}{0,07} = t[/tex3]

Com a ajuda da calculadora ([tex3]\ln 2 \approx 0,69314718056[/tex3]):
[tex3]\frac{0,69314718056}{0,07} \approx t[/tex3]
[tex3]9,90210257943 \approx t[/tex3]

Apenas passados pouco mais de 9,9 anos que o capital dobrará, então podemos dizer que após 10 anos já teremos o capital dobrado. Note que o intervalo de tempo calculado aqui é um pouco menor que o valor obtido pelo colega @adrianotavares seguindo a idéia de juros compostos, o que sempre acontecerá. Isso ocorre, pois os juros adquiridos em diferentes regimes de capitalização seguem a seguinte lógica (mantendo fixas a taxa de juros, o valor do capital e o período de tempo):

Juros no regime simples < Juros no regime composto < Juros no regime contínuo

[baltuilhe]

Bom dia!

Sei que o post é meio antigo... mas vale lembrar que o informado:
Juros no regime simples < Juros no regime composto < Juros no regime continuo

É uma informação 'quase' certa. Existe um intervalo de tempo que (acredite) os juros simples são maiores que os juros no regime composto. No regime contínuo não tem jeito, como os juros são instantâneos sempre serão maiores (sob uma mesma taxa).
O período no qual os juros simples são maiores é aquele onde 0 < n < 1, ou seja, antes de completar um período a fórmula 1+in > (1+i)^n é verdadeira.

Espero ter contribuído