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26.Dado três pontos A, B, C sobre uma mesma reta, consideremos M e N os pontos médios dos segmentos [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}[/tex3]. Demostre que [tex3]\overline{MN}[/tex3] é igual a semi-soma ou à semidiferença dos segmentos [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}[/tex3].

Olá

1) A___M___B___N___C

AM=MB (I)
BN=NC (II)
Diminuindo (II) de (I):
AM-BN=MB-NC
MB + BN = AM + NC
mas MB + BN = MN, AM = AB/2 e NC = BC/2, dai
[tex3]MN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}(AB+BC)[/tex3]

2) A______________C____M_______N___________B

AB = AM + MN + NB
Fazendo AM = AB/2 e NB = BC/2, temos:
[tex3]AB=\frac{AB}{2}+MN+\frac{BC}{2}[/tex3]
[tex3]AB-\frac{AB}{2}-\frac{BC}{2}=MN[/tex3]
[tex3]\frac{2AB-AB-BC}{2}=MN\rightarrow MN=\frac{1}{2}(AB-BC)[/tex3]

A__________B________C (I)
A__________C________B(II)
C__________A________B ?(III)
C__________B________A(I)
B__________A________C?(III)
B__________C________A(II)

Por que desconsiderou(III)?
Como você saber que o M vem primeiro que o N?
A_________C__M__N__B

E para descobrir que tem 6 formas tive que fazer um a um
Isso se aprende em combinatória?
n!=3.2.1=6

Sim, em análise combinatória é que se estuda o número de possibilidades de um evento
Não que eu tenha desconsiderado o (III), é que eu não percebi mesmo essa possibilidade kk

Obs: No caso seria uma combinação de 3 elementos tomados 2 a 2: [tex3]\frac{3!}{2!(3-2)!}=3[/tex3] possibilidades

leomaxwell, como você sabe que o 2 é assim?
A__________C___M__N__B
e não
A_______M_C______N__B

O resultado não se altera kk, muito obrigado amigo, agora entendi!

Testando para terceira hipótese:
C____A_N__M___B
ou
C_______N_A_M_B

Encontrei resultados que são iguais também, mas '"diferente" do que você achou.
Vou fazer com o SEGUNDO.
[tex3]AM=MB[/tex3]
[tex3]CN=NB[/tex3]
[tex3]AM-CN=MB-NB[/tex3]
[tex3]AM+NB=MB+CN[/tex3]
[tex3]AM=\frac{AB}{2}[/tex3]
[tex3]NC=\frac{BC}{2}[/tex3]
[tex3]BC=CN+NM+MB\rightarrow BC=\frac{BC}{2}+NM+\frac{AB}{2}\rightarrow \frac{BC-AB}{2}=NM\rightarrow \frac{1}{2}.(BC-AB)[/tex3]

Esses resultados da 3 hipótese ficaram invertido o sinal de subtração, mas em essência deve ser a mesma coisa.