Pré-Vestibular ⇒ UFPR - Segunda Fase - Polinômios Tópico resolvido

[Vestibinha]

Calcular o produto das seis raízes da equação x⁶ -2x⁵ +px +q = 0. Sabendo que i é uma dessas raízes e que os coeficientes p e q são reais.

[joaopcarvMOD]

Polinômio de sexto grau : [tex3]P_{(x)} \ = \ \alpha \ \cdot \ x^6 \ + \ \beta \ \cdot \ x^5 \ + \ \gamma \ \cdot \ x^4 \ + \ \delta \ \cdot \ x^3 \ + \ \epsilon \
\cdot \ x^2 \ + \ \phi \ \cdot \ x \ + \ \zeta[/tex3]

Veja que [tex3]\alpha \ = \ 1, \ \beta \ = \ -5, \ \phi \ = \ p, \ \ \zeta \ = \ q[/tex3]. Os outros coeficientes são nulos.

[tex3]i[/tex3] e o seu conjugado, [tex3]-i[/tex3] são raízes :

[tex3]P_{(i)}, \ P_{(-i)} \ = \ 0 \ \Rrightarrow[/tex3]

[tex3]\underbrace{i^6}_{\mod(6,4) \ = \ 2} \ - \ 2 \ \cdot \ \underbrace{i^5}_{\mod(5,4) \ = \ 1} \ + \ p \ \cdot \ i \ + \ q \ = \ 0 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]i^2 \ - 2 \ \cdot \ i^1 \ + \ p \cdot \ i \ + \ q \ = \ 0 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]-1 \ - \ 2 \ \cdot \ i \ + \ p \ \cdot \ i \ + \ q \ = \ 0 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]p \ \cdot \ i \ + \ q \ = \ 2 \ \cdot \ i \ + \ 1 \ \rightarrow[/tex3] Igualando [tex3]Im[/tex3] com [tex3]Im[/tex3] e [tex3]Re[/tex3] com [tex3]Re[/tex3] :

[tex3]\boxed{\boxed{p \ = \ 2 \ | \ q \ = \ 1}}[/tex3]

Por [tex3]Girard[/tex3], temos [tex3]\underbrace{\prod_{j \ = \ 1}^{6} \ x_j}_{Produto \ das \ raízes} \ = \ \frac{\underbrace{+}_{polinômio \ de \ grau \ par} \ \underbrace{\zeta}_{termo \ independente}}{\alpha} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\prod_{j \ = \ 1}^{6} \ x_j \ = \ \frac{\cancelto{q \ = \ 1}{\zeta}}{\cancelto{1}{\alpha}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\prod_{j \ = \ 1}^{6} \ = \ 1}} \ \Rrightarrow[/tex3] Produto das raízes do dito polinômio!

[Vestibinha]

Tinha feito por Briot-Rufinni e cheguei até o (-2i+pi+q-1=0), mas nem reparei que era só observar. Obrigada