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(BACEN) O gerente de finanças de um banco chefiou o desenvolvimento e a implantação de um novo sistema que veio a causar sérios problemas à instituição devido a um erro cometido por um dos membros da equipe. O gerente é, com probabilidade igual a [tex3]0,8,[/tex3] o responsável pelo erro cometido. Dois assessores diretos, [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y,[/tex3] sabem se o gerente é ou não culpado e foram chamados para uma reunião com a presidência do banco.
O assessor [tex3]X,[/tex3] primeiro a ser chamado, é amigo do gerente e dirá a verdade, se o gerente for inocente, mas mentirá, com probabilidade igual a [tex3]0,2,[/tex3] se o gerente for culpado.
Já o assessor [tex3]Y,[/tex3] segundo a dar testemunho, odeia toda a equipe e dirá a verdade, se o gerente for culpado, mas mentirá, com probabilidade igual a [tex3]0,3,[/tex3] se o gerente for inocente.

Com base na situação apresentada julgue os itens que se seguem.

I. Se [tex3]X[/tex3] disser à presidência que o gerente é o responsável pelo erro, a chance de o gerente ser inocente será igual a [tex3]0,2.[/tex3]
II. O testemunho falso mais provável será dado pelo assessor [tex3]X.[/tex3]
III. Os assessores [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] darão, com probabilidade igual a [tex3]0,16,[/tex3] testemunhos conflitantes.
IV. Se [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] derem testemunhos conflitantes, a chance de o gerente ser inocente será igual a [tex3]\frac{3}{11}.[/tex3]
V. Os eventos [tex3]\{X \text{ mente}\}[/tex3] e [tex3]\{Y \text{ mente}\}[/tex3] são dependentes.

Alguém???

I) Se X disser que o gerente é o responsável pelo erro, então não há chances de o gerente ser inocente. X só mentirá quando o gerente for culpado. -> Item errado

II) P(X mentir) = P(Gerente ser culpado e X escolher mentir) = 0,8 x 0,2 = 0,16
P(Y mentir) = P(Gerente ser inocente e Y escolher mentir) = 0,2 x 0,3 = 0,06

Logo, a maior chance é de que X minta -> Item correto

III) P(X e Y conflitantes)

- Possibilidades em que X e Y são conflitantes:

i) X (dizer que é inocente) e Y (dizer que é culpado) quando o gerente for inocente:

Gerente tem que ser inocente = 0,2
X tem que dizer que é inocente = 1
Y tem que dizer que é culpado = 0,3

0,2 x 1 x 0,3 = 0,06

OU

ii) X (dizer que é inocente) e Y (dizer que é culpado) quando o gerente for culpado:

Gerente tem que ser culpado : 0,8
X tem que dizer que é inocente: 0,2
Y tem que dizer que é culpado: 1

0,8 x 0,2 x 1 = 0,16

Total = 0,06 + 0,16 = 0,22 -> Item errado

IV) P (Inocente / X e Y são conflitantes) = [tex3][P(Inocente)\times P(X e Y conflitantes / Inocente)]\div [P(X e Y conflitantes)][/tex3]

1) P (Inocente) = 0,2

2) P(X e Y conflitantes / Inocente)

- Dado que o gerente é inocente:

X (dizer que é inocente) e Y (dizer que é culpado) = 1 x 0,3 = 0,3

3) P(X e Y conflitantes)

Do item anterior, temos = 0,22

P (Inocente / X e Y são conflitantes) = [tex3][0,2 \times 0,3]\div [0,22][/tex3]

P (Inocente / X e Y são conflitantes) = 3/11 -> Item correto

V) X e Y não podem mentir independentemente. Para que um deles minta, o outro, necessariamente, tem que dizer a verdade. -> Item correto

Resposta:

I) E
II) C
III) E
IV) C
V) C