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53. Sabendo que o polinômio [tex3]P(x)[/tex3] deixa resto 1 quando dividido por [tex3](x − 1)[/tex3] e deixa resto 23 quando dividido por [tex3](x − 3)[/tex3], então o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x − 1)(x − 3)[/tex3] é:

a) 0
b) 4
c) 9x − 11
d) 11x − 10
e) 12x − 2

Poderia reescrever? Não está aparecendo o polinômio.

Sabendo que o polinômio 𝑃(x) deixa resto 1 quando
dividido por (x− 1) e deixa resto 23 quando dividido
por (x − 3), então o resto da divisão de 𝑃(x) por
(x-1)(x-3)é:
a) 0
b) 4
c) 9x − 11
d) 11x − 10
e) 12x− 2

Sendo [tex3]p(x)[/tex3] de grau pelo menos 2, vamos então supor que seja de grau 2.

[tex3]p(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

Pelo teorema de D'Alambert,

[tex3]\begin{cases}a\cdot1^2+b\cdot1+c=1\\a\cdot3^2+b\cdot3+c=23\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=23\end{cases}[/tex3]

Agora, dividindo [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3](x-1)(x-3)[/tex3] pelo método da chave,

[tex3]\begin{array}{l}ax^2+bx+c\\-ax^2+4ax-3a\\((4a+b)x-3a+c)\end{array}\left|\begin{array}{l}\underline{x^2-4x+3}\\a\\~\end{array}\right.[/tex3]

Dessa forma, obtemos resto [tex3](4a+b)x-3a+c[/tex3]

Mexendo no sistema de equações anteriormente obtido,

[tex3]\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=23\end{cases}\Rightarrow8+4b=22\to\boxed{4a+b=11}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=23\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}-3a-3b-3c=-3\\9a+3b+c=23\end{cases}\Rightarrow6a-2c=20\to\boxed{-3a+c=-10}[/tex3]

De volta ao resto,

[tex3](4a+b)x-3a+c\\\boxed{11x-10}[/tex3]

Apenas uma correção:
[tex3]\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=23\end{cases} \Rightarrow8{\color{red}a}+{\color{red}2}b=22\to\boxed{4a+b=11}[/tex3]