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Olá, tenho algumas dúvidas em relação a um possível método de resolver equações exponenciais.

Ex.:

[tex3]3^{x-1}-3^{x+1}=-8[/tex3]

Veja meus passos:

[tex3]3^{x-1}-3^{x+1}=-3^2+3^0[/tex3]

Por "intuição", e sem conseguir me justificar, eu decidi somar os expoentes:

[tex3]x-1+x+1=2[/tex3]
[tex3]x+x=2[/tex3]
[tex3]2x=2[/tex3]
[tex3]x=1[/tex3]
S={1}

Outro exemplo:
[tex3]2^{x-4}+2^x=34[/tex3]

[tex3]2^{x-4}+2^x=32+2[/tex3]
[tex3]2^{x-4}+2^x=2^5+2^1[/tex3]
[tex3]x-4+x=5+1[/tex3]
[tex3]2x=10[/tex3]
[tex3]x=5[/tex3]
S={5}

Se você resolver utilizando o método "oficial" (substituição de incógnita), em ambas as equações, encontrará o mesmo valor. Então, quer dizer que aquilo é uma resolução válida? Se não, por que achei soluções corretas? Se sim, por que eu aparentemente não encontrei coisa alguma relacionada a ele na Internet? Existe algum nome para esta situação?

MALtematica, nesses "exemplos" deram certo mas a maioria não da. Não faça isso pois irá errar kkk

Creio que para essa situação específica, deixando os dois lados com o mesmo número de termos e com as mesmas bases seja possível utilizar o recurso, visto que, temos uma identidade de equações. A condição de igualdade seria, já que as bases são iguais, que o respectivos expoentes sejam iguais e por consequência sua soma. Seria como uma identidade de polinômios.

[tex3]3^{x-1}-3^{x+1}=3^0-3^2[/tex3] É fácil perceber que para serem iguais os respectivos expoentes serão iguais, portanto x-1+x+1=0+2 [tex3]\rightarrow [/tex3] x=1

Criando outro exemplo aleatório: [tex3]4^{6/x}+4^{x-1} =68 [/tex3]

Transformando 68 em uma soma de bases 4 teremos [tex3]4^{6/x}+4^{x-1} =4^3+4^1 [/tex3]

[tex3]\frac{6}{x}[/tex3]+x-1 = 3+1 [tex3]\rightarrow \frac{6}{x}+x=5\rightarrow x^2-5x+6=0[/tex3]

x=3 ou x =2--> testando x= 2