Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1997) Função Quadrática: Máximos e Mínimos

[giuliano]

Durante o verão, quando há um aumento no consumo de refrigerantes, um agrupamento de escoteiros decidiu coletar latas de aluminio para reciclagem, conseguindo recolher 300 latas por dia. A companhia de reciclagem pagava R$ 0,10 por lata, mas, a esse preço as latas estavam se acumulando nos galpões, mais rapidamente do que poderiam ser recicladas. Assim, no dia em que os escoteiros inciaram a coleta, a companhia mudou sua estratégia e passou a pagar uma quantia menor por lata: houve uma redução fixa e diária correspondente a 1,25% do preço inicial de R$ 0,10.
Como as latas coletadas deveriam ser entregues de uma única vez, devido aos custos de transporte, os escoteiros ficaram em um dilema: no início, o preço estava melhor, mas eles tinham poucas latas; por outro lado, se esperassem muito, o preço ficaria significativamente menor.
Determine o número de dias em que os escoteiros devem concluir a coleta e vender as latas, de modo que o agrupamento receba a maior quantia possível. Quantas latas foram vendidas?

Por favor me ajudem nessa questão. Consegui achar como resposta 80 dias e 2400 latas.

[fabit]

Ótima questão.

Objetivo: maximizar receita [tex3]R=np,[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é o número de latas e [tex3]p[/tex3] é o preço.

O número de latas é [tex3]n=300d[/tex3] onde [tex3]d[/tex3] é o número de dias.

O preço é decrescente em função do número de dias, segundo a relação [tex3]p=0,10-\(\frac{1,25}{100}\cdot 0,10\)d,[/tex3] ou seja, [tex3]p=0,10-0,00125d[/tex3]

Deste modo, [tex3]R=300d\cdot \(0,1-0,00125d\)=d\(30-0,375d\).[/tex3]

É uma quadrática com concavidade para baixo e raízes [tex3]d_1=0[/tex3] e [tex3]30-0,375d_2=0\Rightarrow30=0,375d_2\Rightarrow d_2=\frac{30}{0,375}=\frac{10000}{125}=80 .[/tex3]

O número maximizante é o ponto médio entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]80[/tex3]: [tex3]40[/tex3] dias (talvez você esteja usando a fórmula errada para achar que é [tex3]80[/tex3] dias; o certo é [tex3]\left. x_v=-\frac{b}{2a}\right).[/tex3]

Substituindo [tex3]40[/tex3] na fórmula de [tex3]R,[/tex3] temos [tex3]R(40)=40\(30-0,375\cdot 40\)=40\(30-15\)=40\cdot 15=600.[/tex3]