Pré-Vestibular ⇒ (SANTA CASA) Trigonometria: Funções Trigonométricas

[barbarahass]

Se [tex3]f(x)=2\cdot \text{sen}x+3\cdot \cos\left( \frac{x}{2}\right),[/tex3] é verdadeira:

a) [tex3]f(x)=f(x+ \pi)[/tex3]
b) [tex3]f(x)=f\left(x+ \frac{\pi}{2}\right)[/tex3]
c) [tex3]f(x)=f(x+2 \pi)[/tex3]
d) [tex3]f(x)=f(x+4 \pi)[/tex3]
e) [tex3]f(x)=f\left(x+ \frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

Resposta:

---

d

[rodrigosnt]

[tex3]f(x)=2\cdot \text{sen}x+3\cdot \cos\left( \frac{x}{2}\right)[/tex3]

Sejam [tex3]g(x)=2\cdot \text{sen}x[/tex3] e [tex3]h(x)=3\cdot \cos\left( \frac{x}{2}\right).[/tex3]

O período de [tex3]g(x)[/tex3] é [tex3]P_g=2\pi[/tex3] e o período de [tex3]h(x)[/tex3] é [tex3]P_h=4\pi.[/tex3]

Um período de [tex3]f(x)[/tex3] é dado por [tex3]n\cdot P_g[/tex3] ou [tex3]m\cdot P_h,[/tex3] desde que [tex3]\frac{P_g}{P_h}=\frac{m}{n},[/tex3] com [tex3]m,n\in \mathbb{Z}_+[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(m,n)=1.[/tex3] Logo, como [tex3]\frac{m}{n}=\frac{2\pi}{4\pi}\Longrightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2},[/tex3] um período de [tex3]f[/tex3] é [tex3]1\cdot 4\pi=4\pi.[/tex3]

Resposta: (d).