Olimpíadas ⇒ Desigualdade com reais positivos

[PrincesaAli]

[tex3]a,b,c[/tex3] são números reais positivos com [tex3]abc=1[/tex3].
Demonstrar que

[tex3](a-1+\frac {1}{b})(b-1+\frac {1}{c})(c-1+\frac {1}{a})\leq 1[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 25040)]

......................up.................................

[undefinied3]

Cheguei em [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2[/tex3], mas não consegui a partir disso chegar na desigualdade.

[Auto Excluído (ID: 25040)]

vc multiplicou o lado esquerdo e chegou em

a+b+c+1a+1b+1c−ac−ba−cb−2a+b+c+1a+1b+1c−ac−ba−cb−2

daí agora precisaria provar que [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2\leq1[/tex3]?

[undefinied3]

Isso mesmo, esqueci de avisar.

[NigrumCibum]

undefinied3, bem, como [tex3]abc=1[/tex3] então podemos dizer que [tex3]a=\frac{x}{y}[/tex3], [tex3]b=\frac{y}{z}[/tex3] e [tex3]c=\frac{z}{x}[/tex3], então nós ficaremos com a seguinte desigualdade [tex3](x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≦xyz.[/tex3]
Agora a gente faz uma outra substituição [tex3]x=p+q[/tex3], [tex3]y=q+r[/tex3] e [tex3]z=p+r[/tex3], então segue que [tex3](p+q)(q+r)(p+r)≧8pqr[/tex3] e pelas desigualdades aritmética e geométrica a conclusão segue.∎