Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1985) Números Complexos: Forma Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A forma trigonométrica do número complexo [tex3]1-\sqrt{3}i[/tex3] é:

a) [tex3]2\[cos(2k\pi+\frac{\pi}{6})+i\text{sen}\(2k\pi+\frac{\pi}{6}\)\].[/tex3]
b) [tex3]2\[cos(2k\pi-\frac{\pi}{6})+i\text{sen}\(2k\pi-\frac{\pi}{6}\)\].[/tex3]
c) [tex3]2\[cos(2k\pi+\frac{\pi}{3})+i\text{sen}\(2k\pi+\frac{\pi}{3}\)\].[/tex3]
d) [tex3]2\[cos(2k\pi+\frac{\pi}{4})+i\text{sen}\(2k\pi+\frac{\pi}{4}\)\].[/tex3]
e) [tex3]2\[cos(2k\pi-\frac{\pi}{3})+i\text{sen}\(2k\pi+\frac{\pi}{3}\)\].[/tex3]

[Doug]

Opa,

Forma algébrica de um número complexo [tex3]z=a+bi,[/tex3] para passar pra forma tirgonométrica:

a) Módulo [tex3]\(\rho\):\,\rho=\mid z\mid=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3]

b) Argumento [tex3](\theta):\begin{cases}\cos\theta=\frac{a}{\rho}\\\sen \theta=\frac{b}{\rho}\end{cases}[/tex3]

c) [tex3]z=\rho(\cos\theta+i\sen\theta)[/tex3]

Então,

• [tex3]\rho=\sqrt{1^{2}+\(-\sqrt{3}\)^{2}}\Right\,\rho=\sqrt{1+3}\Right\,\rho=2 \\ \begin{cases}\cos\theta=\frac{1}{2}\\ \sen \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \theta=300^\circ\end{cases}[/tex3]
  
  [tex3]z=2(\cos 300^\circ +i\sen 300^\circ) =2\(\cos \frac{{5\pi}}{3} +i\sen\frac{5\pi}{3}\)[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Doug,

Lembrando que o argumento do complexo não será [tex3]300^\circ[/tex3] e sim [tex3]300^\circ+k\cdot 360^\circ[/tex3]. Ou seja:

• [tex3]\frac{5\pi}{3}+2\cdot k\cdot\pi[/tex3]

Só que o ângulo [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3] pode ser escrito como [tex3]{-}\frac{\pi}{3}[/tex3]. Portanto, o argumento pode ser escrito também como:

• [tex3]{-}\frac{\pi}{3}+2\cdot k\cdot\pi[/tex3]

ou

• [tex3]2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3}[/tex3]

Assim, podemos escrever a forma trigonométrica de [tex3]z[/tex3] como sendo:

• [tex3]z=2\[\cos(2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3})+i\cdot\sin(2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3})\][/tex3]

Só que, ainda, podemos explorar o fato de a função seno ser ímpar, ou seja [tex3]f(x)=-f(-x)[/tex3]. Ou seja, podemos escrever [tex3]\sin(2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3})=\sin(-2\cdot k\cdot\pi{+}\frac{\pi}{3})[/tex3]. Mas o valor de [tex3]k[/tex3] é inteiro, podemos escrever ainda:

• [tex3]\sin(2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3})=\sin(2\cdot k\cdot\pi{+}\frac{\pi}{3})[/tex3]

Que fecha a alternativa (e).

[Doug]

Opa, nossa essa questãozinha complico heim, para vestibular sei não, eu concerteza iria errar, demorei pra entender o porque de podemos falar que [tex3]\sin(2\cdot k\cdot\pi{-}\frac{\pi}{3})=\sin(2\cdot k\cdot\pi{+}\frac{\pi}{3})[/tex3], mas agora eu entendi, muito obrigado caju, abraço e t+