Ensino Médio ⇒ Ângulos na Circunferência(FME) Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

402. Na figura, [tex3]\overline{AB}[/tex3] é um diâmetro, a corda [tex3]\overline{AM}[/tex3] é o lado do triângulo equilátero inscrito e [tex3]\overline{BN}[/tex3], o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo [tex3]\alpha[/tex3], formado pelas tangentes [tex3]\overline{PM}[/tex3] e [tex3]\overline{PN}[/tex3].

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Resposta

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[tex3]30^{\circ}[/tex3]

[alevini98]

Olhando para o triângulo, como ele reparte a circunferência em três arcos iguais, então a medida do arco [tex3]AM=120^°[/tex3].

Como AB se trata do diâmetro, logicamente divide a circunferência em dois arcos iguais. Desa forma é possível ver que o arco [tex3]BM=60^°[/tex3].

Agora, olhando para o quadrado, é claro que ele divide a circunferência em quatro arcos iguais, logo [tex3]BN=90^°[/tex3]. Lembrando do diâmetro, dá para perceber que [tex3]AN=90^°[/tex3].

Agora, calculando [tex3]\alpha[/tex3],

[tex3]\alpha=\frac{\mbox{arco maior}-\mbox{arco menor}}{2}\\\alpha=\frac{210-150}{2}\\\boxed{\alpha=30^°}[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

Esse é o problema não estou vendo esse triângulo.

[alevini98]

Veja o segmento AM como a base do triângulo equilátero. O terceiro vértice do triângulo estaria no arco BN, mas não está indicado na figura.

[MatheusBorgesMOD]

alevini98, como você pode concluir isso?

[alevini98]

Está escrito no enunciado.

Na figura [...] a corda [tex3]\overline{AM}[/tex3] é o lado do triângulo equilátero inscrito.

Mas não é preciso saber onde estaria o terceiro vértice. O que importa mesmo é saber que ele equilátero. Com isso dá pra chegar ao valor do arco AM.

[MatheusBorgesMOD]

alevini98, por que o quadrilátero divide ela em quatro arcos iguais? Se em nenhum momento foi dito que ele é regular.

[petrasMOD]

o lado do quadrado inscrito.

Quadrado é um quadrilátero regular

[MatheusBorgesMOD]

Muito obrigado pessoal!