Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1997) Geometria Analítica e Números Complexos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Se [tex3]z[/tex3] representa um ponto do plano complexo, o conjunto dos pontos [tex3]z[/tex3] que verificam a igualdade, julgue os itens abaixo.

(1) [tex3]|z-1+i|=|z+1-i|[/tex3] é uma reta que passa pela origem e tem declividade igual a [tex3]\frac{2}{3}.[/tex3]
(2) [tex3]|z-i|+|z+i|=4[/tex3] é uma reta.
(3) [tex3]|z-3-3i|=2[/tex3] é a circunferência com centro no ponto [tex3]3+3i[/tex3] e de raio igual a [tex3]\sqrt{2}.[/tex3]

Resposta

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E, E, E

[theblackmamba]

Olá ALDRIN,

O módulo de um número complexo [tex3]z=a+bi[/tex3] é igual a [tex3]|z| = a^2 + b^2[/tex3].

Seja [tex3]z = a + bi[/tex3]

(1). Errada

[tex3]|a + bi - 1 + i| = |z + 1 - i|[/tex3]
[tex3]|(a-1) + i(b+1)| = |(a+1) + i(b-1)|[/tex3]
[tex3]a^2 - 2a + 1 + b^2 + 2b + 1 = a^2 + 2a + 1 + b^2 -2b + 1[/tex3]
[tex3]a=b[/tex3]

Com a = b o argumento do número complexo é igual [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3], o que caracteriza a reta [tex3]y=x[/tex3] (bissetriz de um quadrante ímpar). Logo a declividade é igual a 1.

(2). Errada

[tex3]|a + i(b-1)| + |a + i(b+1)| = 4[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 - 2b + 1 + a^2 + b^2 + 2b + 1 = 4[/tex3]
[tex3]2a^2 + 2b^2 = 2[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 = 1[/tex3]

A equação representa uma circunferência com centro na origem e raio = 1.

(3). Errada

[tex3]|(a - 3)+i(b-3)| = 2[/tex3]
[tex3](a-3)^2 + (b-3)^2 = 2[/tex3]

A equação representa uma circunferência com centro [tex3]C(3,3)[/tex3] e raio [tex3]r =\sqrt2[/tex3]

Grande abraço.