Olimpíadas ⇒ Círculos - Inglaterra 2000

[Atsocs]

Duas circunferências secantes [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] possuem uma tangente comum que tangencia [tex3]C_1[/tex3] em [tex3]P[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] em [tex3]Q[/tex3]. As duas circunferências intersectam-se em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3], onde [tex3]N[/tex3] é mais próximo de [tex3]PQ[/tex3] do que [tex3]M[/tex3]. A reta [tex3]PN[/tex3] encontra a circunferência [tex3]C_2[/tex3] novamente em [tex3]R[/tex3]. Prove que [tex3]MQ[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle{PMR}[/tex3].

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3]. Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.

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EDIT: ESTA PARTE ESTÁ ERRADA
[tex3]\angle XQP = \angle QXR[/tex3] (semi-inscritos)

os ângulos acima não são semi-inscritos, eu cometi um engano apesar de os ângulos descritos nesta linha de fato serem iguais. Conseguindo provar que eles são iguais ou seja QX=QR, o problema se resolve:

[tex3]\angle QXR = \angle QMR[/tex3] (ângulos inscritos)
repare agora que [tex3]\angle MRQ = \angle MQP[/tex3] (semi-inscritos) logo triângulo PQM é semelhante a PQX e portanto [tex3]\angle PMQ =
\angle QMR[/tex3]

[Atsocs]

seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3]. Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.

Por que conclues que os triangulos são semelhantes com apenas um angulo congruente?

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\angle PMQ = \angle PMN + \angle NMQ = \angle NPQ + \angle NQP = 180 - \angle PNQ = \angle QNR = \angle RMQ[/tex3]