IME / ITA ⇒ (IME - 1993) Análise Combinatória Tópico resolvido

[jreis]

Numa escola, há 15 comissões, todas com igual número de alunos, cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam.

a) Quantos alunos têm a escola
b) Quantos alunos participam de cada comissão?

Desde já agradeço
jreis

[cajuADMIN]

Olá jreis,

A grande sacada desta questão está na frase "cada duas comissões possui exatamente um membro em comum". Devemos então descobrir quantas "duas comissões" podemos formar com as [tex3]15[/tex3] disponíveis. Ou seja, combinação de [tex3]15[/tex3] comissões tomadas [tex3]2[/tex3] a [tex3]2[/tex3].

[tex3]C_{15}^{2}=105[/tex3]

Ou seja, existem [tex3]105[/tex3] diferentes duplas de comissões e, conseqüentemente, [tex3]105[/tex3] membros, pois há um membro diferente a cada dupla.

Agora, [tex3]\frac{105}{15}=7[/tex3] alunos em cada comissão, já que há um número igual de membros em cada comisão.

Uma outra questão bem parecida com esta, que utiliza o mesmo raciocínio pode ser encontrada no link abaixo:

senha dos cadeados