Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Reta Simétrica em relação a um ponto Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Dados [tex3]P (-3,\,-3)[/tex3] e [tex3](r)\, 4x+ 5y - 14[/tex3], determine a reta [tex3]t[/tex3] simétrica de [tex3]r[/tex3] em relação a [tex3]P[/tex3].

[fismatpina]

Sabemos que a reta "r" é simétrica a reta "t" em relação ao ponto "P", quando for paralela a "t" e distar de "P" a mesma distância que "t". Assim:

d(P,r) = [tex3]\frac{|4(-3) + 5(-3) - 14|}{\sqrt{25 + 16}} = \sqrt{41}[/tex3]

r // s => m(s) = m(r)

m(r) = [tex3]-\frac{4}{5}[/tex3] = m(s)

s: y = [tex3]-\frac{4}{5}[/tex3] x + K => s: 4x + 5y - 5K = 0

d(P,s) = d(P,r) = [tex3]\sqrt{41}[/tex3]

|4(-3) + 5(-3) - 5K| = 41

Analisando os 2 casos:

caso 1:
-27 - 5K = -41 => 5K = 14 (reta r)

caso 2:
-27 - 5K = 41 => 5K = -68 (reta s)

Finalmente podemos escrever a equação da reta s:

s: 4x + 5y + 68 = 0