Ensino Superior ⇒ Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1 Tópico resolvido

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Seja f uma função tal que f' ' '(x) > 0 para todo x em ]a, b[. Suponha que existe c em ]a, b[ tal que f' '(c) = f' (c) = 0. Prove que f é estritamente crescente em ]a,b[.

[Cardoso1979]

Observe

Uma prova:

Por hipótese f'''( x ) é estritamente crescente em ] a , b [ .

Como f''( c ) = 0 e f'''( x ) > 0 no nosso intervalo, temos que f''( x ) é uma função crescente nesse intervalo.

Como f''( c ) = 0 então para valores de x < c f'' é negativa e para valores x > c f'' é positiva , ou seja:

f'' ( x ) < 0 em ] a , c [ e

f'' ( x ) > 0 em ] c , b [

Logo, f'( x ) é estritamente decrescente em ] a , c [ e estritamente crescente em ] c , b [ .

E sabendo que f' ( c ) = 0 , temos também que:

f' ( x ) > 0 em ] a , c [ e em ] c , b [ já que para x < c , f' decresce até 0 e para x > c f' cresce a partir de 0.

Isso significa que em todo o nosso intervalo f' ( x ) ≥ 0 ( = 0 para x = c ) , o que faz com que a função f nunca decresça!

Portanto, como f( x ) é contínua, f( x ) será estritamente crescente em ] a , c [ e em ] c , b [ , assim também será estritamente crescente em ] a , b [ . C.q.p.




Bons estudos!