Ensino Superior ⇒ Fluxo - Teorema de Stokes Tópico resolvido

[Ronny]

Aplicando a formula de Stokes Calcule [tex3]C=[/tex3] [tex3]\Phi_{L}x^{2}.y^{3}dx+dy+z.dz [/tex3], onde [tex3]L[/tex3] 'e a linha de interseccao das superficies [tex3]x^{2}+y^{2}=R^{2}[/tex3] e [tex3]x+y+z=R[/tex3], tomando o sentido negativo.

Resposta

---

[tex3]\boxed{\frac{\pi*R^{6}}{8}}[/tex3]

.

[jedi]

[tex3]\oint \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy[/tex3]

[tex3]\oint \limits _{L}x^{2}.y^{3}dx+dy+z.dz=\iint \limits _{S}(0-0)dydz+(0-0),dz\,dx+(0-3x^2y^2)dx\,dy[/tex3]

[tex3]\oint \limits _{L}x^{2}.y^{3}dx+dy+z.dz=\iint \limits _{S}-3x^2y^2\,dx\,dy[/tex3]

da equação [tex3]x^2+y^2=R^2[/tex3] podemos parametrizar [tex3]x=r.\cos(t)[/tex3] e [tex3]=r.\sen(t)[/tex3]

[tex3]dy.dx=r.dr.dt[/tex3]

como o sentindo da integral é negativo então a integral é de 0 à 2pi

[tex3]\iint \limits _{S}-3x^2y^2\,dx\,dy=\int_{2\pi}^{0}\int_{0}^{R}-3[r\cos(t)]^2[r.\sen(t)]^2.r.dr.dt[/tex3]

trocando o limite da integral e invertendo o sinal

[tex3]\iint \limits _{S}-3x^2y^2\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}3[r\cos(t)]^2[r.\sen(t)]^2.r.dr.dt[/tex3]

[tex3]=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^5\cos^2(t).\sen^2(t)dr.dt[/tex3]

[tex3]=3.\frac{R^6}{6}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t).\sen^2(t).dt[/tex3]

[tex3]=\frac{R^6}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t).\sen^2(t).dt[/tex3]

usando integração por partes [tex3]u=\sen(t)[/tex3] e [tex3]dv=\cos^2(t).sen(t)[/tex3]

[tex3]du=\cos(t)dt[/tex3]

[tex3]v=-\frac{\cos^3(t)}{3}[/tex3]

[tex3]\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{3}+\int\frac{\cos^4(t)}{3}dt[/tex3]

[tex3]\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{3}+\int\frac{[1-\sen^2(t)]\cos^2(t)}{3}dt[/tex3]

[tex3]\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{3}-\frac{1}{3}\int\sen^2(t)\cos^2(t)dt +\frac{1}{3}\int\cos^2(t)dt[/tex3]

[tex3]\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt+\frac{1}{3}\int\sen^2(t)\cos^2(t)dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{3}+\frac{1}{3}\int\frac{1+cos(2t)}{2}dt[/tex3]

[tex3]\frac{4}{3}\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{3}+\frac{1}{3}.\frac{t}{2}+\frac{1}{3}\frac{\sen(2t)}{4}[/tex3]

[tex3]\int\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{4}+\frac{t}{8}+\frac{\sen(2t)}{16}[/tex3]

voltando a integral

[tex3]\frac{R^6}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{R^6}{2}\left[-\frac{\sen(t).\cos^3(t)}{4}+\frac{t}{8}+\frac{\sen(2t)}{16}\right]_{0}^{2\pi}[/tex3]

[tex3]\frac{R^6}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t).\sen^2(t).dt=-\frac{R^6}{2}\left[\frac{2\pi}{8}\right][/tex3]

[tex3]=\frac{\pi.R^6}{8}[/tex3]

[Ronny]

Ne imagino isso num teste mano, e olha que esse exercicio e de um teste ! Valeu mano. So tenho uma duvida, porque voce nao usou a formula de integral duplo rot F * n * ds , sera que nao seria menos trabalhoso? Se tiver tempo e paciencia, poderias tentar mostrar, so para aprofundar. porque essa forma que tu usou tambem e valida, so que imagine voce com um monte de questoes.. estar integrando.. integrando e tal.. enquanto que na verdade pode existir uma forma mais agradavel de chegar a solucao, sem muitas manobras.

[Ronny]

Com todo o respeito Jedi, sem querer ofender.

[Ronny]

Outra curiosidade e, como seria o esboco dessas 2 figuras geometricamente? no plano oxyz e em oxy?? Sendo que ha uma interseccao nelas e tudo mais. Seria bonito de ver

[jedi]

Ronny, bom dia

Com relação das figuras, uma delas seria um cilindro [tex3]x^2+y^2=R[/tex3] a outra seria um plano inclinado que corta os três eixos nos pontos
[tex3](0,0,R)[/tex3] [tex3](0,R,0)[/tex3] e [tex3](R,0,0)[/tex3]

é meio difícil desenhar depois tento fazer um esboço.

Não tinha pensado na formula do rotacional, depois dou uma olhada também