Ensino Médio ⇒ Geometria espacial Tópico resolvido

[GehSillva7]

Dados da pirâmide quadrangular:
AB=10
VA = 15
MN = 9
MN // VD
PM é perpendicular a VA e P [tex3]\in [/tex3] VO
Qual é a medida de OP?

[petrasMOD]

@GehSillva7,

Base: Quadrada de lado L = 10. Logo, a semidiagonal OA é [tex3]\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}.[/tex3]
Aresta Lateral: VA = 15.
Altura da Pirâmide (VO): [tex3]\triangle VOA:VO^2 + OA^2 = VA^2 \implies VO^2 + (5\sqrt{2})^2 = 15^2\\VO^2 + 50 = 225 \implies VO = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}.[/tex3] [tex3]\triangle AMN \sim AVD:\frac{MN}{VD} = \frac{AM}{AV}[/tex3]
Como VD = VA = 15 (pirâmide regular) e MN = 9:[tex3]\frac{9}{15} = \frac{AM}{15} \implies AM = 9 \\\therefore VM = VA - AM = 15 - 9 = 6[/tex3].3.
P está na altura VO e o segmento PM é perpendicular à aresta lateral VA.
[tex3]\alpha = \angle OVA[/tex3]
[tex3]\triangle VOA:\cos(\alpha) = \frac{VO}{VA} = \frac{5\sqrt{7}}{15} = \frac{\sqrt{7}}{3}\\\sen(\alpha) = \frac{OA}{VA} = \frac{5\sqrt{2}}{15} = \frac{\sqrt{2}}{3}[/tex3]
[tex3]\triangle VPM:VP = \frac{VM}{\cos(\alpha)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{18}{\sqrt{7}} = \frac{18\sqrt{7}}{7}[/tex3].
[tex3]OP = VO - VP = 5\sqrt{7} - \frac{18\sqrt{7}}{7}= \frac{35\sqrt{7} - 18\sqrt{7}}{7}\\\therefore \boxed{OP = \frac{17\sqrt{7}}{7}_{//}}[/tex3]