Ensino Médio ⇒ Placar 5x3 (Só pra treinar)

[ThaianyMacêdo]

(UFRGS) Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time "A" e 3 gols para o time "B", existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0 × 0 a 5 × 3. Por exemplo, uma evolução poderia ser:

pontos10.jpg (10.79 KiB) Exibido 7593 vezes

Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 0 × 0 a 5 × 3?
a) 16
b) 24
c) 36
d) 48
e) 56

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RESPOSTA (Caso não faça a mínima ideia de como se resolva isso )

Resposta

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Bom, uma forma de resolver esse problema é utilizando permutação com repetição. Podemos transformar a relação de pontos do placar num anagrama... Quer ver?

Seguindo o exemplo de evolução de placar que a própria questão traz, temos: ABBAAABA (cada letra representa um ponto para seu respectivo time).
Assim, com essa sequência de letras, vemos que A fez um ponto (placar 1x0), B fez um ponto (placar 1x1), B fez um ponto (placar 1x2), A fez um ponto (placar 2x2), A fez um ponto (placar 3x2), A fez um ponto (placar 4x2), B fez um ponto (placar 4x3), A fez um ponto (placar 5x3).

Assim, para ver as outras possíveis evoluções do placar, basta permutar as letras do anagrama:

[tex3]P_{3,5}^{8}= \frac{8.7.6.51}{3!5!} = 56[/tex3].

Logo, a resposta é a alternativa (e)56.

[csmarceloMOD]

Existem [tex3]C^8_5=56[/tex3] formas de distribuir os 5 gols do time vencedor (ou [tex3]C^8_3=56[/tex3] dos 3 do time perdedor) ao longo do total de gols da partida.