Ensino Superior ⇒ Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1 Tópico resolvido

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Esboce o gráfico:

y = [tex3]\frac{4x + 3x^{2}}{1 + x^{2}}[/tex3]

[vzz]

Derive a função em relação a x e iguale esta derivada a zero para achar os pontos de máximo/mínimo. Depois derive de novo para achar a concavidade ponto a ponto da função.

[alevini98]

Primeiro precisamos encontra as assíntotas da função.

Verticais

É possível ver que na função [tex3]\frac{4x+3x^2}{x+1^2}[/tex3] não há nenhum valor real que zere o denominador. Logo, nesse caso, não há assíntotas verticais.

Horizontais

Calculando [tex3]\lim_{x\to+\infty}f(x)[/tex3] e [tex3]\lim_{x\to-\infty}f(x)[/tex3] poderemos saber se há assíntotas horizontais.

[tex3]\lim_{x\to\infty}\frac{4x+3x^2}{x+1^2}[/tex3]

Dividindo ambos numerador e denominador por [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\lim_{x\to\infty}\frac{4+3x}{\frac{1}{x}+x}\\\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x}=\boxed{3}[/tex3]

É fácil ver que o caso é o mesmo para [tex3]\lim_{x\to-\infty}f(x)[/tex3].

Oblíquas

Não há assíntotas oblíquas nesse caso.


Primeira derivada

[tex3]y'=\frac{(4+6x)(1+x^2)-(4x+3x^2)2x}{(1+x^2)^2}\\y'=\frac{-4x^2+6x+4}{(1+x^2)^2}[/tex3]

Agora igualamos a derivada a zero para saber os extremos da função.

[tex3]\frac{-4x^2+6x+4}{(1+x^2)^2}=0\\2x^2-3x-2=0\\\boxed{x_1=-\frac{1}{2}\\x_2=2}[/tex3]

Também devemos saber onde a função é crescente ou decrescente.

[tex3]\frac{-4x^2+6x+4}{(1+x^2)^2}>0[/tex3]

Como o denominador está elevado ao quadrado ele sempre será positivo, então só precisamos analisar o numerador.

[tex3]-4x^2+6x+4>0\\\boxed{-\frac{1}{2}< x <2}[/tex3]

A função somente será crescente nesse intervalo, sendo decrescente no restante.

Segunda derivada

Pela segunda derivada podemos saber os pontos de inflexão e a concavidade da função.

[tex3]y''=\frac{(-8x+6)(1+x^2)^2-(-4x^2+6x+4)4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4}\\y''=\frac{(1+x^2)(8x^3-6x^2-24x+6)}{(1+x^2)^4}[/tex3]

Pontos de inflexão

Para achar os pontos de inflexão basta igualarmos a zero.

[tex3]\frac{(1+x^2)(8x^3-6x^2-24x+6)}{(1+x^2)^4}=0\\(1+x^2)(8x^3-6x^2-24x+6)=0[/tex3]

Deixei fatorado assim porque seria impossível resolver uma equação do quinto grau pelos seus coeficientes. Olhando para as duas partes fica bem visível que a primeira parte não apresenta raízes reais, logo não nos diz nada sobre os pontos de inflexão. Então,

[tex3]8x^3-6x^2-24x+6=0[/tex3]

Porém, também seria muito trabalhoso resolver uma equação do terceiro grau. Primeiro devemos verificar se a mesma possui raízes no plano dos reais. Calculando seu discriminante:

[tex3]D(8x^3-6x^2-24x+6)=530496[/tex3]

Para a nossa infelicidade o discriminante é maior do que zero, isto é, todas as raízes são reais, dessa forma havendo sim pontos de inflexão, e nós teremos de achar cada um deles; ou no mínimo boa parte deles.

Seria extremamente trabalhoso calcular cada uma das raízes. Por isso, o ideal seria apenas aproximá-las com o método de Newton-Raphson. (Também seria melhor simplesmente jogar numa calculadora, se possível).

Pela calculadora conseguimos [tex3]x\approx-1,53[/tex3], [tex3]x\approx0,24[/tex3] e [tex3]x\approx2,04[/tex3].

Concavidade

Testando alguns valores à direita e à esquerda de cada ponto de inflexão sabemos que [tex3]f''(x)>0[/tex3] para o intervalo [tex3](-1,53;0,24)\cup(2,04;+\infty)[/tex3] e que [tex3]f''(x)<0[/tex3] para o intervalo [tex3](-\infty;-1,53)\cup(0,24;2,04)[/tex3].

Utilizando esses dados fica relativamente fácil esboçar a função. Também seria interessante ter uma ideia de como as funções do tipo [tex3]\frac{x^a}{x^b}[/tex3] se comportam e depois apenas ajustando elas com os dados achados aqui.