Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Circunferência Tópico resolvido

[muralha]

Identifique as condições que devem ser satisfeitas pelos coeficientes da equação a [tex3]x^2+b y^2+2 c x y+2 d x+2 e y+f=0[/tex3] para que os pontos de coordenadas [tex3](x,\,y)[/tex3] do plano cartesiano represente uma circunferência:



alguém me ajuda????

[petrasMOD]

@muralha,

Uma circunferência não possui inclinação em relação aos eixos que justifique um termo xy. Para que esse termo desapareça, o coeficiente 2c deve ser nulo.
Condição: c = 0
Os coeficientes de x² e y² devem ser iguais e diferentes de zero. Se forem diferentes, a figura será uma elipse, hipérbole ou parábola.
Condição: [tex3]a = b \neq 0[/tex3]
Mesmo que c=0 e a=b, a equação ainda pode representar um único ponto ou um conjunto vazio (raio imaginário). Para garantir que seja uma circunferência real:Dividindo a equação original por a (já que a=b), temos: [tex3]x^2 + y^2 + \frac{2d}{a}x + \frac{2e}{a}y + \frac{f}{a} = 0.[/tex3]
[tex3]\left(x^2 + \frac{2d}{a}x\right) + \left(y^2 + \frac{2e}{a}y\right) = -\frac{f}{a}[/tex3].
Completando o quadrado em x, somamos [tex3]\left(\frac{d}{a}\right)^2[/tex3]
Para y, somamos [tex3]\left(\frac{e}{a}\right)^2[/tex3].
[tex3]\left(x^2 + \frac{2d}{a}x + \frac{d^2}{a^2}\right) + \left(y^2 + \frac{2e}{a}y + \frac{e^2}{a^2}\right) = \frac{d^2}{a^2} + \frac{e^2}{a^2} - \frac{f}{a}\\\left(x + \frac{d}{a}\right)^2 + \left(y + \frac{e}{a}\right)^2 = \frac{d^2 + e^2 - af}{a^2}[/tex3]
Forma reduzida da circunferência: [tex3](x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = R^2[/tex3]
O raio R é definido por:[tex3] R^2 = \frac{d^2+e^2-af}{a^2(+)} [/tex3].
Condição: [tex3] d^2 + e^2 > af[/tex3]