Ensino Médio ⇒ Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer

[Oziel]

Gostaria de uma dedução de uma soma de 3 termos elevado a um n qualquer, por exemplo [tex3](x+y+z)^{3}[/tex3].

[rodBR]

Olá Oziel, bom dia.

Solução:
Basta escrever [tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3] e usar o binômio de Newton:
[tex3][(x+y)+z]^3=\sum_{i=0}^{3}\binom{3}{i}(x+y)^{3-i}\cdot y^i=\binom{3}{0}\cdot(x+y)^3\cdot y^0+\binom{3}{1}\cdot(x+y)^2\cdot y^1+\binom{3}{2}\cdot(x+y)^1\cdot y^2+\binom{3}{3}\cdot(x+y)^0\cdot y^3[/tex3]

Agora é só terminar...

[Oziel]

Tem como demonstrar isso usando apenas produtos notáveis ? É que ainda não estudei Binômio de Newton.

[Babi123]

Usando só produtos notáveis:
[tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3]
[tex3][(x+y)+z]^3=(x+y)^3+3\cdot(x+y)^2\cdot z+3\cdot(x+y)\cdot z^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3x^2z+6xyz+3y^2z+3xz^2+3yz^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz[/tex3]