IME / ITA ⇒ (AFA - 2002) Trigonometria: Funções Trigonométricas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Analise as alternativas seguintes e classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

I. O período e o conjunto-imagem da função [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex3] definida por [tex3]f(x)=\frac{1}{4}\cdot \text{sen}x\cdot \cos x[/tex3] são, respectivamente, [tex3]2\pi[/tex3] e [tex3]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right].[/tex3]
II. A função [tex3]y=2\cdot \text{arccos}4x[/tex3] tem por domínio o conjunto de todos os valores de [tex3]x[/tex3] pertencentes a [tex3]\left[0,\frac{1}{4}\right].[/tex3]
III. Para todo [tex3]x \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,[/tex3] o valor de [tex3](\text{tg}^2x+1)\cdot(\text{sen}^2x-1)[/tex3] é [tex3]{-}1.[/tex3]

A opção que corresponde à classificação acima é:

a) F - V - F.
b) V - V - F.
c) F - F - V.
d) V - F - V.

[paulo testoniMOD]

Hola.

A imagem é tudo o que vem antes de [tex3]\text{sen}x\cdot \cos x[/tex3], que é o [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
A imagem do seno varia de [tex3]{-}1[/tex3] até [tex3]1,[/tex3] então: [tex3]\frac{1}{4}\cdot [- 1, 1]= \left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right][/tex3]

O período é dado por:

• [tex3]P = \frac{2\pi}{|m|}[/tex3]

Uma explicação para o período:

A função seno nos é dada por:

• [tex3]f(x) = a + b\cdot \text{sen}(mx + n)[/tex3]

Para a determinação do período de uma trigonométrica, só nos importa o valor [tex3]m.[/tex3]
Desse modo, para a função seno, o período é encontrado efetuando-se:

• [tex3]P = \frac{2\pi}{|m|}[/tex3]

Colocamos o [tex3]m[/tex3] em módulo pois seu sinal não altera o período. Logo, o período da função dada é?

• [tex3]P = \frac{2\pi}{1}[/tex3]
  [tex3]P= 2\pi[/tex3]

Questão 1 é verdadeira

[Thales Gheós]

[tex3](\tan^2x+1)(\text{sen}^2x-1)=\\\left(\frac{\text{sen}^2x}{1-\text{sen}^2x}+1\right)\cdot (\text{sen}^2x-1)=\\\text{sen}^2x=a\\\left(\frac{a}{1-a}+1\right)\cdot (a-1)=\\\frac{1}{1-a}\cdot{(a-1)}=\\\frac{-(1-a)}{1-a}=-1[/tex3]

A expressão independe de [tex3]x[/tex3] e tem valor [tex3]{-}1.[/tex3] A terceira proposição é verdadeira e a resposta final é: alternativa d)

[paulo testoniMOD]

Hola

Vou fazer a última, pois assim a questão sai por eliminação.

[tex3](\tg ^2x+1)\cdot (\sen ^2x-1),[/tex3] fazendo as devidas subtituições, fica:

[tex3]\left(\frac{\sen ^{2}x}{\cos^{2}x} + 1\right)\cdot (\sen ^2x-1)[/tex3]

[tex3]\left(\frac{\sen ^{2}x+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}\right)\cdot (\sen ^2x-1),[/tex3] lembre-se de que:

[tex3]\sen ^{2}x + \cos^{2}x = 1,[/tex3] e que:
[tex3]\sen ^{2}x - 1= - \cos^{2}x,[/tex3] substituindo, temos:

[tex3]\left(\frac{1}{\cos^{2}x}\right)\cdot (- \cos^{2}x)[/tex3]
[tex3]\frac{-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}[/tex3], que dá [tex3]{-} 1[/tex3], logo a questão 3 também é verdadeira. Nesse caso ficamos com a opção d, pois é a única que satisfaz.

[jneto]

Boa tarde,

Dependendo do problema, pode ser mais interessante um enfoque para descobrir a alternativa correta rapidamente, vejamos:

I. Falsa. Vamos reescrever a função [tex3]f(x):[/tex3]

• [tex3]f(x) = \frac{1}{4}\text{sen}(x)\cos(x) = \frac{1}{8} \text{sen}(2x)[/tex3]

Donde vemos que o período da função [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]T = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex3]

Com isso eliminamos as alternativas b e d. Além disso, as alternativas restantes são exclusivas em relação às afirmações (II) e (III)

III. Verdadeira.

• [tex3](\text{tg}^{2}(x) + 1)(\text{sen}^{2}(x) - 1) = \sec^{2}(x)[\text{sen}^{2}(x) - (\text{sen}^{2}(x) + \cos^{2}(x))] = \\
  \sec^{2}(x)[-\cos^{2}(x)] = \frac{-\cos^2(x)}{\cos^{2}(x)} = -1[/tex3]

Portanto: alternativa c .

[Thales Gheós]

Boa tarde,

Dependendo do problema, pode ser mais interessante um enfoque para descobrir a alternativa correta rapidamente, vejamos:

I. Falsa. Vamos reescrever a função [tex3]f(x)[/tex3]:

• [tex3]f(x) = \frac{1}{4}\text{sen}(x)\cos(x) = \frac{1}{8} \text{sen}(2x)[/tex3]

Donde vemos que o período da função [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]T = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex3]

Isso foi muito bom!

[Karl Weierstrass]

Definição de Função Periódica

Uma função [tex3]f:D\to \mathbb{R}[/tex3] é periódica se existir um número [tex3]p>0[/tex3] satisfazendo a condição

• [tex3]f(x)=f(x+p), \forall x\in D[/tex3]

O menor valor de [tex3]p[/tex3] que satisfaz a condição acima é chamado período fundamental de [tex3]f.[/tex3]

Assim, a função [tex3]f(x)=\cos x[/tex3] tem período fundamental igual a [tex3]2\pi.[/tex3]

Note que [tex3]4\pi,6\pi,8\pi,\ldots ,[/tex3] também são períodos de [tex3]f.[/tex3]