IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na figura abaixo existem [tex3]n[/tex3] triângulos retângulos onde [tex3]ABC[/tex3] é o primeiro, [tex3]ACD[/tex3] o segundo e [tex3]APN[/tex3] é o [tex3]n[/tex3]-ésimo triângulo. A medida do segmento [tex3]\overline{HN}[/tex3] é:

• 

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a) [tex3]\frac{a\sqrt{n}}{n}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{a\sqrt{n+1}}{n+1}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{a\sqrt{n-1}}{n-1}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{a\sqrt{n+1}}{n}.[/tex3]

[adrianotavares]

Olá ,Aldrin.

Observando a figura percebe-se que a hipotesusa do 1º triângulo corresponde ao cateto do 2º, hipotenusa do 2º corresponde ao cateto do 3º, hipotenusa do 3º corresponde ao cateto do 4º e assim sucessivamente.

• [tex3]\sqrt{a^2}:[/tex3] cateto do 1º triângulo
  [tex3]\sqrt{2a^2}:[/tex3] cateto do 2º triângulo
  [tex3]\sqrt{3a^2}:[/tex3] cateto do 3º triângulo
  [tex3]\sqrt{4a^2}:[/tex3] cateto do 5º triângulo

Podemos então concluir que o cateto do triângulo [tex3]NPA[/tex3] vale:

• [tex3]\sqrt{n\cdot a^2} = a \sqrt{n}[/tex3]

Aplicando Pitágoras no [tex3]\triangle NPA[/tex3] temos:

• [tex3]\overline{NA}^2 = a^2 + (a \sqrt{n})^2[/tex3]
  [tex3]\overline{NA}^2 = a^2 + a^2n[/tex3]
  [tex3]\overline{NA}^2 = a^2\cdot (n + 1)[/tex3]
  [tex3]\overline{NA} = \sqrt( a^2\cdot (n + 1)[/tex3]
  [tex3]\overline{NA} = a \sqrt{n + 1}[/tex3]

Aplicando as relações métricas num triângulo retângulo temos:

• [tex3]\overline{PN}^2 = \overline{NA} \cdot \overline{HN}[/tex3]
  [tex3]a^2 = a \sqrt{n + 1}\cdot \overline{HN}[/tex3]
  [tex3]\overline{HN} \sqrt{n +1} = a[/tex3]
  [tex3]\overline{HN} = \frac{a}{\sqrt{n + 1}}[/tex3]
  [tex3]\overline{HN} = \frac{a}{\sqrt{n + 1}}\cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{ n + 1}}[/tex3]
  [tex3]\overline{HN} = \frac{a \sqrt{n + 1}}{\sqrt{(n + 1)^2}}[/tex3]
  [tex3]\overline{HN} = \frac{a \sqrt{n + 1}}{n + 1}[/tex3]

Alternativa: (b).

Acredito que seja essa a resposta.