IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Função Quadrática e Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O retângulo, com base no eixo das abcissas, está inscrito numa parábola, conforme figura abaixo. O valor de [tex3]x[/tex3] que faz esse retângulo ter perímetro máximo é:

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a) [tex3]1.[/tex3]
b) [tex3]0,5.[/tex3]
c) [tex3]0,25.[/tex3]
d) [tex3]0,125.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Pelas raízes e intersecção com o eixo [tex3]y[/tex3] conseguimos deduzir a equação da parábola

• [tex3]y=-2x^2+8[/tex3]

A base do retângulo irá valer [tex3]2x[/tex3]. A altura do triângulo será o valor de [tex3]y[/tex3] que se relaciona com o [tex3]x[/tex3] que define a base. Ou seja, a altura do retângulo será [tex3]{-}2x^2+8[/tex3].

Sendo assim o perímetro do retângulo é dado pela função:

• [tex3]2p=2x+2x+(-2x^2+8)+(-2x^2+8)[/tex3]
  
  [tex3]2p=-4x^2+4x+16[/tex3]

O enunciado pede o valor do [tex3]x[/tex3] do vértice. Aplicando a fórmula do [tex3]x[/tex3] do vértice:

• [tex3]x_v=\frac{-4}{2\cdot(-4)}=\frac 12=0,5[/tex3]

[Natan]

Oi prof,

Poderia me explicar melhor como você encontrou a função que define a altura do retângulo?

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Houve um equívoco ao digitar a função que define a altura do retângulo. O software utilizado para transformar as equações LaTeX em imagem não consegue trabalhar quando a expressão começa com um sinal negativo. Para conseguir burlar isso, devemos colocar o sinal negativo (quando inicia uma expressão) entre chaves. Eu havia me esquecido das chaves, por isso apareceu [tex3]-2x^2+8[/tex3] no lugar de [tex3]{-}2x^2+8[/tex3]. Mas já arrumei, agora você entende?
Qualquer dúvida, poste aqui.
Abraços

[Natan]

Oi prof.!

Eu estou fazendo uma confusão danada aqui, a base que você fala é o lado maior ou menor do retângulo? E como concluir que a função que define a parábola corresponde à altura do retângulo?

[jgpret]

Caro Natan,

Pense comigo:

se [tex3]x = 1,[/tex3] então vc substitui [tex3]x[/tex3] por [tex3]1[/tex3] na função para achar a altura correspondente. Ou seja, se [tex3]x = 1[/tex3] a base total do retângulo vale [tex3]2[/tex3] e a altura vale [tex3]6.[/tex3] Logo o perímetro [tex3]16.[/tex3]

Se [tex3]x[/tex3] valesse [tex3]1,5,[/tex3] eu substituiria [tex3]1,5[/tex3] na função para achar a altura (o lado vertical do retângulo) e ao achá-la calcularia o perímetro.

Como eu desconheço o [tex3]x[/tex3] correspondente ao perímetro máximo, então eu chamo ele de [tex3]x[/tex3] mesmo e substituo [tex3]x[/tex3] por [tex3]x[/tex3] na função para achar a altura.

Aí, meu perímetro vira uma nova função, quadratica também, da qual o prof caju determina o máximo valor por ela assumido.

Nao sei se fui muito claro.

[Diegooo]

Olá Aldrin\ Natan,

Vou detalhar mais um pouco.

Observe que a base do retângulo equivale a [tex3]2x[/tex3].

Repare também que o retângulo possui dois de seus vértices pertencentes a parábola, desse modo a interseção de cada um destes vértices com a parábola nos fornece os seguintes pares ordenados [tex3](-x,\ y)[/tex3] e [tex3](x,\ y)[/tex3]. Isso mostra que a altura do retângulo é igual a [tex3]y[/tex3].

Logo o perímetro do retângulo será [tex3]4x + 2y[/tex3]. (Perceba que devemos analisar o valor máximo para essa expressão relacionando [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3], já que eles pertencem a parábola)

Como [tex3]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex3] temos:

[tex3]y=a(x-2) [x-(-2)][/tex3]
[tex3]y=a(x^2-4)[/tex3]

Como o par ordenado [tex3](0,\text{ 8})[/tex3] pertence a parábola encontraremos o valor do coeficiente do termo do segundo grau;

[tex3]8=a-4[/tex3]
[tex3]a=-2[/tex3]

Assim, a parábola será representa por [tex3]y=-2x^2+8 \therefore f(x) = -2x^2+8[/tex3]

Para [tex3]x= x[/tex3] ou [tex3]-x[/tex3]; temos que [tex3]y = -2x^2+8[/tex3]

Sendo [tex3]y[/tex3] a altura do retângulo basta substituirmos [tex3]y[/tex3] na função perímetro

[tex3]p(x)=4x+2y[/tex3]
[tex3]p(x)=4x + 2(-2x^2+8)[/tex3]
[tex3]p(x)=-4x^2 + 4x + 16[/tex3]

Logo o valor de [tex3]x[/tex3] que corresponde ao perímetro máximo é dado pelo [tex3]x[/tex3] do vértice

[tex3]\boxed{x_v= \frac{-b} {2a} = \frac{-4}{2(-4)}= 0,5}[/tex3]

Espero ter ajudado!