IME / ITA ⇒ (AFA - 2001) Números Complexos: Forma Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], e [tex3]C[/tex3] são afixos das raízes cúbicas do número complexo [tex3]z[/tex3], Se [tex3]n[/tex3] é o menor natural não nulo para o qual [tex3]z^n[/tex3] é um real positivo, então [tex3]n[/tex3] é igual a:

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a) [tex3]8.[/tex3]
b) [tex3]6.[/tex3]
c) [tex3]4.[/tex3]
d) [tex3]2.[/tex3]

Resposta:

---

c

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Podemos pensar na propriedade que sai da fórmula de Moivre. Quando extraímos a raiz cúbica de um número, pegamos o seu argumento (ou um múltiplo de [tex3]360^\circ[/tex3] somado a ele) e dividimos por [tex3]3[/tex3] para encontrar o argumento da raiz cúbica.

Nesse exemplo, o complexo [tex3]z[/tex3] tem argumento [tex3]90^\circ[/tex3], pois ao dividir por [tex3]3[/tex3] resultou [tex3]30^\circ[/tex3], ou seja, é um imaginário puro.

Para ser um real positivo deve ter argumento igual a [tex3]360^\circ[/tex3]. Se era [tex3]90^\circ[/tex3], devemos multiplicar por [tex3]4[/tex3] para chegar a [tex3]360^\circ[/tex3].