Estude! Com Prof. Caju

Um número possui apenas uma única representação em determinada base.

Demonstração:
Suponhamos, por absurdo, que um determinado número n possua duas diferentes representações em uma determinada base b. Assim:

[tex3]n=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b+a_0[/tex3]
[tex3]n=c_mb^m+c_{m-1}b^{m-1}+...+c_2b^2+c_1b+c_0[/tex3]

Logo: [tex3]a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b+a_0=c_mb^m+c_{m-1}b^{m-1}+...+c_2b^2+c_1b+c_0[/tex3]
[tex3]c_0-a_0=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b-c_mb^m-c_{m-1}b^{m-1}-...-c_2b^2-c_1b[/tex3]
[tex3]c_0-a_0=b(a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b^1+a_1-c_mb^{m-1}-c_{m-2}b^{m-1}-...-c_2b^1-c_1)[/tex3][tex3]\rightarrow b|c_0-a_0[/tex3]

Entretanto como a₀ e c₀ são dígitos em base b tem-se que [tex3]0\leq a_0,c_0\leq b-1[/tex3], fazendo com que o intervalo de variação de c₀-a₀ obedeça o intervalo [tex3]-(b-1)\leq c_0-a_0\leq b-1[/tex3]. Neste intervalo o único número inteiro divisível por b é 0, ou seja, obrigatoriamente temos a₀=c₀.
Assim: [tex3]a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b^1+a_1-c_mb^{m-1}-c_{m-2}b^{m-1}-...-c_2b^1-c_1=0[/tex3]
[tex3]c_1-a_1=a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b-c_mb^{m-1}-c_{m-1}b^{m-2}-...-c_2b^1[/tex3]
[tex3]c_1-a_1=b(a_nb^{n-2}+a_{n-1}b^{n-3}+...+a_2-c_mb^{m-2}-c_{m-1}b^{m-3}-...-c_2)[/tex3][tex3]\rightarrow b|c_1-a_1[/tex3][tex3]\rightarrow a_1=c_1[/tex3]
Continuando com esse procedimento conclui-se que a₂=c₂, a₃=c₃,...
Assim, as duas representações são idênticas, implicando que existe somente uma maneira de representar um número em determinada base.

Alguém me explica a parte grifada?

[tex3]0\leq a_0,c_0\leq b-1[/tex3] página 20...
é óbvio que [tex3]b|c_0−a_0[/tex3] (1) é só dividir ambos os lados por b.
[tex3]-(b-1)\leq c_0-a_0\leq b-1[/tex3] (2) é o que se espera de uma subtração (valores simétricos)
Agora perceba que b é sempre positivo, vide teoria.
Veja (1) que essa divisão sempre pertence aos conjuntos dos números inteiros, pois uma subtração inteiros não vai dar número quebrado (informal). Repare também que b sempre será maior que o intervalo estipulado por (2), logo para (1) ser inteiro [tex3]b_0=c_0[/tex3] ou seja (1) fica valendo zero e como consequência aquele monstro de espressão zera (iguala a zero), e assim segue o raciocínio.
O mais complicado da matemática são as demonstrações. Economizam uma página e você fica horas, dias tentando entender. Mas no final vale a pena. Abraço.

[tex3]b|c_0−a_0[/tex3] Mas o que significa isso?

[tex3]\frac{c_0-b_0}{b}[/tex3]. B divide [tex3]c_0-b_0[/tex3]. O dois dividi o 6 pois [tex3]\frac{6}{2}=3[/tex3]

Poderia me explicar qual é a razão de Co ser menor ou igual a b-1?