Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Função Quadrática Tópico resolvido

[Oziel]

Considere a equação do segundo grau, em x, x² - (m - 2)x + m + 2 =0. Pode-se afirmar que o conjunto de todos os valores de m, para os quais a diferença entre as raízes da equação seja 4, é:

Resposta

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Resposta {-2, 10}

[jvmago]

[tex3]x^2-(m-2)x+(m+2)=0[/tex3]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] as raízes. Observando a equação temos duas informações:

[tex3]\begin{cases}
a+b=m-2 \\
a-b=4
\end{cases}[/tex3]

[tex3]a=\frac{m+2}{2}[/tex3] usando esse resultado na primeira equação obtemos [tex3]b=\frac{m-6}{2}[/tex3].
Note agora que [tex3]ab=m+2[/tex3] então agora é somente braço:

[tex3]\frac{(m+2)}{2}*\frac{(m-6)}{2}=m+2[/tex3]
[tex3]m^2-4m-12=4m+8[/tex3]
[tex3]m^2-8m-20=0[/tex3]
[tex3]\Delta =144[/tex3]
[tex3]m=\frac{8+-12}{2}[/tex3]
[tex3]m=10[/tex3] ou [tex3]m=-2[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

[tex3]x_2 - x_1 = 4 > 0 \Longrightarrow x_2 > x_1 \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} \Longrightarrow \begin{cases} x_1 = \frac{-b -\sqrt {\Delta}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta }}{2a} \end{cases} \\ x_2 -x_1 = \frac{\sqrt \Delta }{a} = 4 \\ \Delta = 16a^2 \therefore (m-2)^2 - 4(1)(m+2) = 16(1)^2 \\ m^2 -4m +4 - 4m-8 = 16 \\ m^2 -8m-20= 0 \therefore (m+2)(m-10) = 0 \therefore m =-2 \text{ ou } m = 10
[/tex3]