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Duas circunferências , uma de centro O e raio R e outra de centro O' e raio r, R > r, são tangentes exteriormente . Dois segmentos concorrentes no ponto Q (externo às duas circunferências) são tangentes às duas circunferências e o segmento QP passa pelos centros O e O' das duas circunferências de tal maneira que o ponto P pertence somente à circunferência de centro O' . Calcule , em função de R e r, a distância PQ .

@gerlanmatfis,
Como as circunferências são tangentes exteriormente, a distância entre seus centros O e O' é d(OO')=R+r
O ponto Q está na reta que passa pelos centros. A sequência de pontos na reta é Q:P:O':O, já que P
pertence apenas à circunferência menor (centro O') e Q é externo a ambas.
Seja x a distância de QO'. Como P está na circunferência de raio r e a reta passa pelo centro, a distância QP será x-r.

Sejam T e T' os pontos de tangência de um dos segmentos partindo de Q com as circunferências de centro O e O', respectivamente. Os triângulos QTO e QT'O' são retângulos em T e T' (raio perpendicular à tangente) e compartilham o ângulo em Q . Portanto, são semelhantes:
[tex3]\frac{O'T'}{OT} = \frac{QO'}{QO}[/tex3]

Substituindo os valores conhecidos (OT = R, O''T' =r, QO' = x e QO = x + R + r

[tex3]\frac{r}{R} = \frac{x}{x+R+r} \implies x = \frac{r(R+r)}{R-r}\\
PQ = x- r = \frac{r(R+r)}{R-r} - r = \frac{rR+r^2-rR+r^2}{R-r}=\boxed{\frac{2r^2}{R-r}} [/tex3]