Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1974) Trigonometria: Transformações e Módulo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sendo [tex3]\text{sen}x-\text{sen}y=2\text{sen}\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}[/tex3] e lembrando que [tex3]|\text{sen} z| \leq |z|,[/tex3] [tex3]|\cos t| \leq 1[/tex3] e [tex3]|a\cdot b|=|a|\cdot |b|,[/tex3] podemos afirmar que, para quaisquer números [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] reais:

a) [tex3]|\text{sen}x-\text{sen}y| \leq \frac{|x+y|}{2}.[/tex3]
b) [tex3]|\text{sen}x-\text{sen}y| \leq \frac{|x-y|}{2}.[/tex3]
c) [tex3]|\text{sen}x-\text{sen}y| \leq |x-y|.[/tex3]
d) [tex3]|\text{sen}x-\text{sen}y| \leq 2 |x^2-y^2|.[/tex3]
e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

Resposta:

---

c

[fabit]

[tex3]|\sin{x}-\cos{x}|=\left|2\sin{\frac{x-y}{2}}\cos{\frac{x+y}{2}}\right|=2\left|\sin{\frac{x-y}{2}}\right|\left|\cos{\frac{x+y}{2}}\right|\leq2\left|\sin{\frac{x-y}{2}}\right|\leq2\left|\frac{x-y}{2}\right|=|x-y|[/tex3]

Letra (c).