Pré-Vestibular ⇒ UFG 10 Função

[Auto Excluído (ID:20047)]

(UFG/10) Uma fábrica de calcados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de
um custo mensal fixo de R$ 4.000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par
depende da quantidade produzida e e dado pela função [tex3]\ p(x)=40-\lambda x[/tex3], sendo x a quantidade de pares
produzidos e vendidos e [tex3]\lambda [/tex3] é o desconto dado em cada par de sandália. Considerando-se que o lucro mensal,
L(x), da empresa e a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto
para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias produzidos.

Resposta

---

0,005

[Planck]

Olá sirisaac,

Inicialmente, como foi mencionado que precisa-se obter um valor máximo, devemos nos atentar para o fato de que, em algum momento, vamos calcular o vértice da parábola. Mas antes, vamos descobrir a parábola. Podemos obter a equação da parábola pela relação com o lucro:

[tex3]\ \ \ \ \text{ L}(x) = \text{R}(x) - \text{C}(x) \, \, \, \, \implies \, \, \, \, \text{ L}(x) = x \cdot \underbrace{(40 - \lambda \cdot x)}_{\text{preço}} - 4000 - 8 \cdot x \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \,\\ \text{ L}(x) = 40 \cdot x - \lambda \cdot x^2 - 4000 - 8 \cdot x \, \, \iff \, \, \boxed{\text{ L}(x) = - \lambda \cdot x^2 + 32 \cdot x -4000}[/tex3]

Para o lucro máximo, vamos calcular o [tex3]x_{\text {v} }[/tex3]:

[tex3]x_{\text {v} } = \frac{-b}{2 \cdot a} = \frac{16}{\lambda}[/tex3]

Quando o [tex3]x[/tex3] (número de pares de sandálias produzidos) é máximo, temos o lucro máximo. Mas, foi dito que:

um lucro máximo vendendo 3200 pares de sandálias produzidos

Portanto:

[tex3]3200 = \frac{16}{\lambda} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, {\color{forestgreen}\boxed{\lambda = 0,005}}[/tex3]

A questão foi repostada recentemente por outro membro. No entanto, acredito que seja válido deixar a solução nesse tópico também.