Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Soma de Arcos Tópico resolvido

[vivianpibn]

Considere a expressão [tex3]M = sen (2y + x)[/tex3] onde [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] pertencem a [tex3][0, \pi][/tex3]. O valor de [tex3]M[/tex3] para [tex3]y=\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]x=\arctg \frac{\sqrt{12}}{2}[/tex3] é de:

a) [tex3]\frac{6+\sqrt{3}}{13}[/tex3]

b) [tex3]\frac{10+2\sqrt{3}}{13}[/tex3]

c) [tex3]\frac{12+5\sqrt{3}}{26}[/tex3]

d)[tex3]\frac{8+\sqrt{3}}{26}[/tex3]

e) [tex3]\frac{16+3\sqrt{3}}{52}[/tex3]

[Thales Gheós]

Note que não existe [tex3]\arccos3\sqrt{13}[/tex3] porque não existe [tex3]y[/tex3] tal que [tex3]\cos{y}=3\sqrt{13}[/tex3]. Talvez fosse [tex3]\frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3].

De qualquer modo note que [tex3]\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}[/tex3] => [tex3]x=\frac{\pi}{3}[/tex3]

se [tex3]\cos{y}=\frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3] =>

[tex3]\sen^2y+\cos^2y=1[/tex3] => [tex3]\sen^2y=1-\frac{9}{13}[/tex3] => [tex3]\sen{y}=\frac{2\sqrt{13}}{13}[/tex3]

[tex3]M=\sen{(2y+x)}[/tex3] => [tex3]M=\sen{2y}\cdot \cos{x}+\sen{x}\cdot cos{2y}[/tex3]

[tex3]\sen{2y}=2\sen{y}\cdot \cos{y}[/tex3] e [tex3]\cos{2y}=1-2\sen^2{y}[/tex3]

[tex3]M=2\cdot \frac{2\sqrt{13}}{13}\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(1-\frac{2\cdot 4\cdot 13}{13^2}\right)[/tex3]

[tex3]M=\frac{12+5\sqrt{3}}{26}[/tex3]

[vivianpibn]

Realmente, é [tex3]\arccos \frac {3}{\sqrt{13}}[/tex3]
Obrigada pela resolução!