Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Trigonometria: Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[barbarahass]

Determine a soma das raízes de [tex3]\log_{2}(\text{sen}x)-\log_{2}(\cos x+\text{sen}x)=0[/tex3], contidas no intervalo [tex3][-2\pi;\,\,2\pi][/tex3].

Resposta:

---

zero

[Natan]

Vamos fazer algumas transformações na equação dada:

[tex3]\log_{2}(\text{sen}x)-\log_{2}(\cos x+\text{sen}x)=0[/tex3]
[tex3]\log_{2}(\frac{\text{sen}x}{\text{sen}x+\cos x})=0[/tex3]
[tex3]\frac{\text{sen}x}{\text{sen} x+\cos x}=1[/tex3]
[tex3]\text{sen}x=\text{sen}x+\cos x[/tex3]
[tex3]\cos x=0[/tex3]
[tex3]\cos x= \cos 90^\circ ,[/tex3] logo [tex3]x=90^\circ[/tex3] ou [tex3]x=270^\circ .[/tex3] Como [tex3]\cos(-a)=\cos a[/tex3] temos que [tex3]{-}90^\circ[/tex3] e [tex3]{-}270^\circ[/tex3] também são soluções, logo no intervalo pedido temos [tex3]S=\left\{-270^\circ, -90^\circ, 90^\circ, 270^\circ\right\},[/tex3] cuja soma é zero.

[retlaw]

Olá natan, sabe o que não entendi no exercício é que segundo as condições de existência do log, temos que ter [tex3]senx>0[/tex3] e [tex3]cosx+senx>0[/tex3], sendo assim as raízes [tex3]-90^\circ[/tex3] e [tex3]270^\circ[/tex3] não podem fazer parte da solução, pois [tex3]sen(-90^\circ)=sen(270^\circ)=-1[/tex3] e de acordo com a condição de existência do Log deve se ter [tex3]senx>0[/tex3].

E se tirarmos esses 2 resultados não bate com o resultado que é zero a soma das raízes.

Poderia me ajudar?