IME / ITA ⇒ (EN - 1989) Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido

[mvgcsdf]

As equações da reta que passa pelo ponto [tex3]P(3, -2, -4),[/tex3] é paralela ao plano [tex3]3x - 2y - 3z - 7 = 0[/tex3] e intercepta a reta [tex3]\frac{x-2}{3} = \frac{-4-y}{2} = \frac{z-1}{2}[/tex3] são:

a) [tex3]\frac{x-3}{5} = \frac{y+2}{-6} = \frac{z+4}{9}[/tex3]
b) [tex3]\frac{x-3}{-43} = \frac{y+2}{30} = \frac{z+4}{-23}[/tex3]
c) [tex3]\frac{x-5}{3}=\frac{y+6}{-2}=\frac{z-9}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{x+43}{3}=\frac{y-30}{-2}=\frac{z+23}{-4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}[/tex3]

[Alexandre_SC]

Se a reta [tex3](r)[/tex3] procurada é paralela ao plano [tex3]3x - 2y - 3z - 7 = 0,[/tex3] então essa reta pertence a um plano paralelo ao plano dado. Seja [tex3]3x - 2y - 3z + d = 0[/tex3] a equação desse plano.

Como [tex3]P(3,-2,-4)[/tex3] pertence a [tex3]r,[/tex3] temos

• [tex3]3\cdot 3-2\cdot (-2) - 3\cdot (-4) + d = 0 \Longrightarrow d=-25[/tex3]

Seja [tex3]s: \frac{x-2}{3} = \frac{-4-y}{2} = \frac{z-1}{2}.[/tex3]

Colocando [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] em função de [tex3]x,[/tex3] e substituindo na equação do plano que contém [tex3]r,[/tex3] obtemos:

• [tex3]y = -\frac{2x+8}{3}[/tex3]
  
  [tex3]z = \frac{2x-1}{3}[/tex3]
  
  [tex3]3x + 2\cdot \frac{2x+8}{3} - 3\cdot \frac{2x-1}{3} - 25 = 0\Longrightarrow x=8, y = -8 \text{ e } z = 5[/tex3]

O vetor diretor de [tex3]r[/tex3] é dado por:

• [tex3](8, -8, 5) - (3, -2, -4)= (5, -6, 9)[/tex3]

Donde

• [tex3]r: \frac{x-3}{5} = \frac{y+2}{-6} = \frac{z+4}{9}[/tex3]

Letra (a).