Ensino Médio ⇒ (Poliedro) Triângulos - Pontos Notáveis Tópico resolvido

[leomaxwell]

No [tex3]\triangle ABC[/tex3] a seguir, [tex3]M_1, M_2, M_3[/tex3] são pontos médios dos lados do triângulo e [tex3]\overline{AD}[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]. Prove que o trapézio [tex3]M_1DM_2M_3[/tex3] é isósceles.

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[cajuADMIN]

Olá leomaxwell,

Sendo [tex3]M_1[/tex3] e [tex3]M_3[/tex3] pontos médios, temos que [tex3]M_1M_3[/tex3] é base média em relação ao lado [tex3]AC[/tex3], ou seja, [tex3]M_1M_3=\frac{AC}{2}[/tex3].

Olhando para o triângulo retângulo [tex3]ACD[/tex3], vemos que [tex3]M_2[/tex3], por ser ponto médio da hipotenusa, é o centro do círculo de raio [tex3]R[/tex3] circunscrito a [tex3]ACD[/tex3]. Ou seja, [tex3]M_2A=M_2C=M_2D=R[/tex3].

Portanto, temos que [tex3]M_2D[/tex3] vale metade de [tex3]AC[/tex3] [tex3]\rightarrow M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3]. Assim, chegamos à conclusão que [tex3]M_1M_3=M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3], o que faz o trapézio [tex3]M_2DM_1M_3[/tex3] ter os lados opostos não paralelos iguais [tex3]\rightarrow[/tex3] trapézio isósceles. Como queríamos demonstrar.

Grande abraço,
Prof. Caju

[leomaxwell]

Olhando para o triângulo retângulo [tex3]ACD[/tex3], vemos que [tex3]M_2[/tex3], por ser ponto médio da hipotenusa, é o centro do círculo de raio [tex3]R[/tex3] circunscrito a [tex3]ACD[/tex3]. Ou seja, [tex3]M_2A=M_2C=M_2D=R[/tex3].

Nunca que eu teria percebido isso haha. Obrigado, caju