Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área Mínima de um Triângulo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O sistema de segurança de uma obra de arte é constituído por um feixe laser, plano e vertical com abertura constante de [tex3]90^\circ[/tex3], como mostra a figura abaixo.

AC81.png (6.37 KiB) Exibido 2403 vezes

Sabe-se que a altura da parede é de [tex3]2,1 \text{m}[/tex3] e que o ponto [tex3]A[/tex3] está fixo a [tex3]1,8 \text{m}[/tex3] do chão. Ao movimentar o sistema, o ponto [tex3]B[/tex3] e o ponto [tex3]C[/tex3] deslocam-se, respectivamente, sobre o teto e o chão de forma a constituir o triângulo [tex3]ABC[/tex3], retângulo em [tex3]A.[/tex3] Calcular, em [tex3]\text{cm}^2,[/tex3] a área mínima do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Divida o resultado por [tex3]100[/tex3] e despreze a parte fracionária do resultado caso exista.

[ALDRINMOD]

Alguém???
Gab.: [tex3]54[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

teto_chao.png (7.37 KiB) Exibido 2363 vezes

Como [tex3]BAC[/tex3] é ângulo reto, temos que [tex3]EAB=ACD=\alpha[/tex3].

Temos [tex3]AD=180\text{cm}[/tex3] e [tex3]AE=30\text{cm}[/tex3].

Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, chegamos em:

[tex3]AB=\frac{30}{\cos(\alpha)}[/tex3]

[tex3]AC=\frac{180}{\sin(\alpha)}[/tex3]

A área do triângulo pedida é:

[tex3]A=\frac{\frac{30}{\sin(\alpha)}\times\frac{180}{\cos(\alpha)}}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{5400}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}[/tex3]

[tex3]A=\frac{5400}{\sin(2\alpha)}[/tex3]

Esta área será mínima quando o denominador for máximo, ou seja, igual a 1 (função seno tem máximo igual a 1). Isso irá ocorrer quando [tex3]\alpha=45^{\circ}[/tex3] e será [tex3]5400\text{cm}^2[/tex3].

Dividindo por [tex3]100[/tex3] resulta em [tex3]54[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

[bahi0800]

Boa tarde a todos,

Caju, você poderia, por obséquio, mostrar como você percebeu que o ângulo aCd é igual ao ângulo bAe ?

Desde já agradeço.

[cajuADMIN]

Olá bahl0800,

Veja, na figura, a soma dos seguintes três ângulos:

[tex3]\angle EAB+\angle BAC+\angle CAD = 180^\circ[/tex3]

[tex3]\angle EAB+90^\circ+\angle CAD = 180^\circ[/tex3]

[tex3]\boxed{\angle EAB=90^\circ-\angle CAD}[/tex3]

Veja, portanto, que sendo BEA um triângulo retângulo, fazemos a soma dos três ângulos:

[tex3]EBA+EAB+BEA=180^\circ[/tex3]

Substituindo o valor encontrado anteriormente:

[tex3]\angle EBA+90^\circ-\angle CAD+90^\circ=180^\circ\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{\angle EBA=\angle CAD}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[bahi0800]

Muito obrigado.