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Assinale a alternativa que contém a afirmação correta:

a) [tex3]\forall x, y,\text{ } x \text{ e } y \in \mathbb{R},[/tex3] [tex3]\sqrt{(x+y)^2}=x+y.[/tex3]
b) [tex3]\forall x, y,\text{ } x \text{ e } y \in \mathbb{Z}^*,[/tex3] se [tex3]\frac{x}{y}[/tex3] é inteiro, então [tex3]\frac{y}{x}[/tex3] é inteiro.
c) [tex3]\forall x, y,\text{ } x \text{ e } y \in\mathbb{Z},[/tex3] [tex3]\frac{x+y}{1+x}[/tex3] é um número racional.
d) [tex3]\forall x, y,\text{ } x \text{ e } y \in\mathbb{Z},[/tex3] [tex3]\frac{x+y}{1+x^2}[/tex3] é um número racional.

Olá! Boa Noite...

Creio que a certa seja a letra d).

Fui julgando as alternativas e eliminando-as dessa forma:

a) se [tex3]x+y[/tex3] for número negativo, nunca existirá sua raiz quadrada. Acho que não fui claro, mas para entender o que eu suponho basta considerar [tex3]x=-2[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]. Do lado esquerdo o resultado será [tex3]1[/tex3] (positivo) e do lado direito [tex3]{-}1[/tex3] (negativo) o que invalida a igualdade.

b) Não é valida porque se [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=1,[/tex3] logo [tex3]\frac{x}{y}=\frac{3}{1}[/tex3] pode ser inteiro, mas seu inverso, ou seja [tex3]\frac{y}{x}=\frac{1}{3}[/tex3] não é inteiro.

c) se [tex3]x=-1[/tex3] já invalida porque não há divisão por zero.

d) E o problema da anterior é resolvido no o denominador com [tex3]x^2[/tex3] que não permite que nenhum denominador seja menor ou igual a zero tornando o "número" racional.