(3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio

Auto Excluído (ID:19677) · 2018-04-07T00:50:53+00:00

Sejam a, b, c e d números reais tais que a^2+b^2=c^2+d^2=1 e ac+bd=0. Determine o valor de ab+cd. [spoiler]0[/spoiler]

Olimpíadas ⇒ (3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio Tópico resolvido

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Auto Excluído (ID:19677)

Abr 2018 06 21:50

(3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio

Mensagempor Auto Excluído (ID:19677) » 06 Abr 2018, 21:50

Mensagem por Auto Excluído (ID:19677) » 06 Abr 2018, 21:50

Sejam a, b, c e d números reais tais que [tex3]a^2+b^2=c^2+d^2=1[/tex3] e [tex3]ac+bd=0[/tex3]. Determine o valor de [tex3]ab+cd[/tex3].

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Auto Excluído (ID:19677)

Andre13000 Offline: Mensagens: 847; Registrado em: 18 Mar 2017, 17:30; Agradeceu: 150 vezes; Agradeceram: 565 vezes

Abr 2018 07 12:19

Re: (3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio

Mensagempor Andre13000 » 07 Abr 2018, 12:19

Mensagem por Andre13000 » 07 Abr 2018, 12:19

Tente interpretar geometricamente o problema. O que eu vejo são dois vetores, um com componentes (a,b) e outro com componentes (c,d). O cara faz o produto escalar e dá zero. Ora, quer dizer que os vetores são ortogonais. Tente concluir esse raciocínio. Outra forma que vejo é fazer substituição polar, e o problema sai na hora.

“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

Andre13000

Babi123 Offline: Mensagens: 1428; Registrado em: 28 Jul 2017, 21:05; Agradeceu: 1307 vezes; Agradeceram: 287 vezes

Abr 2018 07 12:30

Re: (3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio

Mensagempor Babi123 » 07 Abr 2018, 12:30

Mensagem por Babi123 » 07 Abr 2018, 12:30

isabelladias, o professor Nicolau Saldanha nessa vídeo aula do POTI https://www.youtube.com/watch?v=jFFdOSsVGgg começa justamente com este problema q vc colocou. Veja é muito boa a aula!

Babi123

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Primeira Postagem

rogerjordan

As alturas AD e BE do triangulo ABC se encontram no
ortocentro H. Os pontos medios de AB e CH são X e Y , respectivamente. Prove que XY
e perpendicular a DE.

Últ. msg

Anonymous

vou abusar de alguma propriedades que podem não ser tão óbvias, qualquer dúvida pergunte.

o triângulo [tex3]\Delta CDE[/tex3] é semelhante ao [tex3]\Delta CAB[/tex3] pois

[tex3]\angle CDE = \angle CAB[/tex3]

repare agora que [tex3]Y[/tex3] é...
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Primeira Postagem

goncalves3718

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]a+b = 1[/tex3] . Prove que [tex3]ab^2 ≤ \frac{4}{27}[/tex3]

Material disponível em: https://www.urantiagaia.org/educacional ... dadesI.pdf
Tentem usar a desigualdade das...

Últ. msg

MateusQqMD

O Marcelo já mostrou a ideia no pdf, irei apenas aplicá-la (excelente professor, por sinal).

Perceba que podemos escrever [tex3]a + b = 1[/tex3] como [tex3]ab^2 = b^2(1-b)[/tex3] e, daí

[tex3]\sqrt{b^2(1-b)} \leq \frac{b^2 -b +1}{2}. [/tex3]

Como...
goncalves37182MateusQqMD2snooplammer1: 4 Resp.; 1878 Exibições; Últ. msg por MateusQqMD
14 Abr 2020, 23:53

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Primeira Postagem

GSazevedo

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]a+b=1[/tex3]. Prove que [tex3]ab^{2}\leq \frac{4}{27}[/tex3].

Últ. msg

FelipeMartin

desigualdade das médias com [tex3]a,\frac b2, \frac b2[/tex3]:
[tex3]\frac{a+\frac b2 + \frac b2}3 \geq \sqrt[3]{a \frac b2 \frac b2} \iff \frac13 \geq \sqrt[3]{\frac{ab^2}4} \iff ab^2 \leq \frac4{27}[/tex3]
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