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[marcalledo]

Considere que um programa de televisão ofereça as duas opções de premiação seguintes:

I. Um milhão de reais para cada pergunta respondida corretamente em um conjunto de 30 perguntas;

II. R$ 1,00 para a primeira pergunta, R$ 2,00 para a segunda, R$ 4,00 para a terceira, e assim por diante, duplicando a quantia a cada pergunta respondida corretamente, até a trigésima.

Nessa situação, para um participante que responda corretamente a todas as perguntas, é financeiramente mais vantajosa a opção I.

[Thales Gheós]

A opção I será mais vantajosa se [tex3]30.10^6\gt1+2+4+.....+2^{29}[/tex3]

a soma da PG é [tex3]S_n=\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}[/tex3] -> [tex3]S_{30}=\frac{2^{30}-1}{2-1}[/tex3] -> [tex3]S_{30}=2^{30}-1[/tex3]

agora precisamos saber se a ordem de [tex3]2^{30}[/tex3] será maior ou menor que a ordem de [tex3]10^7[/tex3]:

[tex3]2^{30}=2^{10}.2^{10}.2^{10}[/tex3] e [tex3]2^{10}=1024[/tex3], portanto,

[tex3]2^{30}\gt1000.1000.1000[/tex3] -> [tex3]2^{30}\gt10^9[/tex3] ou [tex3]2^{30}\gt1000.10^6[/tex3]

de onde se conclui que, para quem pudesse responder a todas as perguntas, a segunda opção seria mais vantajosa, pois o participante receberia:

[tex3]\text 30 vezes 1.000.000[/tex3] na primeira opção e [tex3]\text mais do que 1000 vezes 1.000.000[/tex3] na segunda.