Estude! Com Prof. Caju

O quociente de dois números é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3] e o minimo múltiplo comum entre esses dois números é [tex3]1680,[/tex3] o máximo divisor comum terá?

a) [tex3]12[/tex3] divisores
b) [tex3]16[/tex3] divisores
c) [tex3]8[/tex3] divisores
d) [tex3]10[/tex3] divisores
e) [tex3]20[/tex3] divisores

Desde já agradeço.
jreis

Boa Noite!

Sendo os números [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3], note que:

1)Se [tex3]Quociente=\frac{a}{b}=\frac{7}{4}[/tex3], logo [tex3]4a=7b[/tex3].
Isso significa que se [tex3]a[/tex3] multiplicado pelo menor número inteiro possível é igual a [tex3]b[/tex3] multiplicado pelo menor número inteiro possível, então tanto [tex3]4a[/tex3] quanto [tex3]7a[/tex3] são produtos que se referem ao menor múltiplo comum. Não sei se fui muito claro. Se não, peço ajuda de algum outro membro do fórum que explique isso mais didaticamente ou com mais rigor.

Enfim, partindo desse raciocínio temos que:

[tex3]4a=1680[/tex3], portanto [tex3]a=420[/tex3]
e
[tex3]7b=1680[/tex3], portanto [tex3]b=240[/tex3]

Agora, para determinar o Máximo divisor comum [tex3](MDC)[/tex3] você pode usar aquela fórmula desgramada que eu não curto nem um pouco ou então simplesmente pegar os primos comuns da decomposição de cada número e multiplicá-los:

[tex3]420=2^2*3*5*7[/tex3] e [tex3]240=2^4*3*5[/tex3]

Portanto [tex3]MDC(420,240)=2^2*3*5=4*3*5=60[/tex3]

Assim, Para determinar o número de divisores basta usar aquela manha: [tex3]numero[/tex3] [tex3]de[/tex3] [tex3]divisores[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3](2+1)*(1+1)*(1+1)[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]3*2*2[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]12[/tex3].

Então, agora fiquei meio em dúvida porque 60 tem 12 divisores positivos. Contando somente então com os números positivos eu marcaria 12, letra a). Mas geralmente quando perguntam divisores eles englobam os positivos e os negativos o que daria 24.

Jah refiz o exercício algumas vezes, mas não consigo achar um erro. Acho o número 60 e 12 divisores positivos sempre. Então posso concluir que eu não devo estar enxergando algum erro importante ou as alternativas tem teor questionável (o que eu acho muito mais dificil porque não é questão de qualquer lugar, é do CN, né?!).

O gabarito correto é 12