IME / ITA ⇒ (CN/1995) Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[WagnerMachado]

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Na figura, o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]A[/tex3], o ponto [tex3]O[/tex3] é o centro do semi-círculo de raio [tex3]r[/tex3], tangente aos lados [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{AC}[/tex3]. Sabendo-se que [tex3]\overline{OB}=r\sqrt[]{3}[/tex3] , a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é dada por:

Resposta

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[tex3]\frac{r^2}{4}(3\sqrt[]{2}+4)[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

Primeiro ligue o centro aos pontos de tangência do semicírculo ao triângulo. D toca [tex3]\overline{AB}[/tex3], E toca [tex3]\overline{AC}[/tex3] nos respectivos pontos de tangência. Agora perceba que o quadrilátero DOEA é quadrado e de lado r!
Pitágoras no [tex3]\triangle BDO\rightarrow \overline{BD}=r\sqrt{2}[/tex3]
Chamemos [tex3]\alpha \equiv O\hat B D[/tex3] e [tex3]\beta \equiv B\hat O D[/tex3] veja que disso sai que o [tex3]\triangle BDO \approx \triangle OEC[/tex3]
Assim, vem:
[tex3]\frac{\overline{EC}}{r}=\frac{r}{r\sqrt{2}}\\
\overline{EC}=\frac{r.\sqrt{2}}{2}[/tex3]
Calculando a área:
[tex3]S_{abc}=(r+r\sqrt{2}).(r+\frac{r\sqrt{2}}{2}).\frac{1}{2}=\frac{r^2}{4}(3\sqrt[]{2}+4)[/tex3]