Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 2008) Geometria Espacial: Esfera, Pirâmide e Cone Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Uma empresa de engenharia projetou um reservatório de água cujo interior tinha formato esférico, com raio de [tex3]3[/tex3] metros. A mesma empresa iniciou, então, o projeto de dois outros reservatórios, capazes de armazenar exatamente o mesmo volume de água que o reservatório esférico.

Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens subseqüentes.

(1) Se um dos reservatórios tiver o seu interior em forma de pirâmide reta, em que a base é quadrada e a altura é igual ao lado do quadrado que forma a base, então a altura dessa pirâmide será igual a [tex3]3[/tex3] metros.

(2) Se um dos reservatórios tiver o seu interior em forma de cone reto, em que a base é um círculo com raio de [tex3]4[/tex3] metros, então a altura do cone será igual a [tex3]4[/tex3] metros.

Resposta

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Gabarito: E,E

[PedroCunha]

Primeiro devemos achar o volume da esfera:

Sendo [tex3]\frac{4}{3}\pi r^3[/tex3] o volume da esfera, temos:
[tex3]v_e = \frac{4}{3}\pi r^3 \therefore v_e = \frac{4}{3}\pi (3^3) \therefore \boxed{\boxed{v_e = 36\pi m^3}}[/tex3]

Agora, vamos às afirmativas:

(1) Se um dos reservatórios tiver o seu interior em forma de pirâmide reta, em que a base é quadrada e a altura é igual ao lado do quadrado que forma a base, então a altura dessa pirâmide será igual a [tex3]3[/tex3] metros.

Para descobrirmos se é a afirmativa é verdadeira, usaremos a fórmula do volume da pirâmide, que é dada por:
[tex3]v_p = \frac{S_b \cdot h}{3}[/tex3]
Calculando temos:
[tex3]v_p = \frac{S_b \cdot h}{3} \therefore 36\pi \cdot 3 = S_b \cdot h \therefore \boxed{108\pi = l^2 \cdot h} \\\\
Mas \,\, h = l \,\,, \,\, logo \,\, temos: \\\\
108 = l^2 \cdot l \therefore 108\pi = l^3 \therefore l = \sqrt[3]{339,12} \therefore \boxed{\boxed{ l = h = 6,9 (I - Errada)}}[/tex3]

(2) Se um dos reservatórios tiver o seu interior em forma de cone reto, em que a base é um círculo com raio de metros, então a altura do cone será igual a metros.

Para descobrirmos se é a afirmativa é verdadeira, usaremos a fórmula do volume do cone, que é dada por:
[tex3]v_c = \frac{\pi r^2h}{3}[/tex3]
Calculando temos:
[tex3]v_c = \frac{\pi r^2h}{3} \therefore 36\pi \cdot 3 = \pi \cdot (4^2)\cdot h \therefore 108\pi = 16\pi h \therefore h = \frac{108\pi}{16\pi} \therefore \boxed{\boxed{h = 6,75 (II - Errada)}}[/tex3]


Penso que seja isso.

Att.,
Pedro