IME / ITA ⇒ (ITA – 1966) Geometria Espacial: Esfera e Cubo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No interior de um cubo regular de aresta [tex3]a,[/tex3] existem [tex3]9[/tex3] esferas de mesmo raio [tex3]r.[/tex3] O centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a esfera do centro e três faces do cubo. Exprimir [tex3]a[/tex3] em função de [tex3]r.[/tex3]

Resposta:

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[tex3]\frac{2}{3}\cdot (2\sqrt{3}+3)r.[/tex3]

[F u r u y á]

Solução:

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Nas esferas que tangenciam três faces do cubo, temos a situação descrita na Figura 1. Traçando as três retas perpendiculares às faces nos três pontos de tangência, obtemos um cubo menor de lado [tex3]r,[/tex3] cuja diagonal vale [tex3]r\sqrt{3}[/tex3] e está contida na diagonal do cubo de lado [tex3]a,[/tex3] a qual por sua vez mede [tex3]a\sqrt{3}.[/tex3]

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A partir da vizualização da Figura 2, vemos então que a diagonal do cubo de lado [tex3]a[/tex3] pode ser calculada em função dos raios da esferas:

• [tex3]a\sqrt{3} = 2\left( r\sqrt{3} \right) + 4r \\
  3a = r \sqrt{3} \left( 2\sqrt{3} + 4 \right) \\
  3a = 2 r \sqrt{3} \left( \sqrt{3} + 2 \right) \\
  \boxed{a = {2 \over 3} \left( 2 \sqrt{3} + 3 \right)r}[/tex3]