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Um recipiente de lata, de forma cilíndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de V litros. Determine a razão entra a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível.

Resposta: h= d/2

Observe

Solução:

Pelo enunciado devemos então minimizar a área total do cilindro. Primeiramente vemos que o volume do cilindro é dado por

V = πr²h

Daí,

πr².h = V → [tex3]h = \frac{V}{πr^ 2} \ ( I )[/tex3].


Área total do cilindro:

A( r ) = [tex3]A_{base} \ + \ A_{lateral}[/tex3]

A( r ) = πr² + 2πrh ( I I )

Substituindo ( I ) em ( I I ), fica;

[tex3]A(r) = πr^2 + 2\cancel{π}.\cancel{r}.\frac{V}{\cancel{π}.\cancel{r}.r}[/tex3]

[tex3]A(r) = πr^2 + \frac{2V}{r}[/tex3]


Derivando A( r ) :

[tex3]A'(r) = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]


Fazendo A'( r ) = 0 , vem;

[tex3]0 = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]

[tex3]2πr = \frac{2V}{r^2}[/tex3]

π.r³ = V

[tex3]r = \sqrt[3]{\frac{V}{π}} \ ( III )[/tex3]

Como d = 2.r, temos

[tex3]d = 2.\sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]

[tex3]d = \sqrt[3]{\frac{8V}{π}}[/tex3].


Por outro lado, substituindo ( I I I ) em ( I ) , vem

[tex3]h = \frac{V}{π.\sqrt[3]{\frac{V^2}{π^2}}}[/tex3]

que desenvolvendo, obtemos

[tex3]h = \sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]

Como o autor está pedindo a razão entre a altura h e o diâmetro d da base , então

[tex3]\frac{h}{d} = \frac{\sqrt[3]{\frac{V}{π}}}{\sqrt[3]{\frac{8V}{π}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} → h = \frac{d}{2}[/tex3].


Portanto, a razão entre a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível é [tex3]\frac{h}{d} = \frac{1}{2}[/tex3] que equivale a [tex3]h = \frac{d}{2}[/tex3].



Excelente estudo!

Por que foi importante fazer a derivada igual a zero?

Loreto escreveu: 16 Mai 2021, 03:36 Por que foi importante fazer a derivada igual a zero?

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