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Calcule o limite:

• [tex3]\lim_{x\to \infty}\text{ }\(\sqrt{x^2+x}-x\)[/tex3]

Agradeço desde já a ajuda.

Olá, tudo bem!

Eu consegui ver a solução através do site http://www.wolframalpha.com/.
Basta digitar esse limite lá, ter um cadastro e ver o passo-a-passo da resolução.

Espero que tenha ajudado.
Abraços e bons estudos!

Como tende para [tex3]+\infty[/tex3], substitua valores altos:

Pra x = 1000
[tex3]\sqrt{(1000)^2+(1000)}-(1000)[/tex3]
[tex3]0,4998[/tex3]

Para x = 10000
[tex3]\sqrt{(10000)^2+(10000)}-(10000)[/tex3]
[tex3]0,4999[/tex3]

Perceba que ele está tendendo para [tex3]0,5[/tex3]

Substituir valores é uma boa forma de ter um intuito de onde chega o limite. Porém...

[tex3]\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x}-x =\lim_{x\to \infty}x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)-x=\lim_{x\to \infty}x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1\right)[/tex3]

[tex3]=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}[/tex3]

-----------------------------------------------
Fazendo uma substituição de variável, [tex3]\frac{1}{x}=u[/tex3] , então quando [tex3]x\rightarrow \infty,\,\,\,u\rightarrow 0[/tex3]
-----------------------------------------------
Continuando:

[tex3]=\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}[/tex3]

Racionalizando o numerador (isto é multiplicando em cima e em baixo por [tex3]\sqrt{1+u}+1[/tex3] )
Ficamos com:

[tex3]=\lim_{u\to 0}\frac{1+u-1}{u(\sqrt{1+u}+1)}[/tex3]

[tex3]=\lim_{u\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+u}+1}[/tex3]

Agora sim podemos substituir o u por zero:

[tex3]=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\boxed{\frac{1}{2}}[/tex3]