Ensino Superior ⇒ Cálculo de área por integrais curvilíneas. Tópico resolvido

[Guferreira]

Use integrais curvilíneas para calcular a área da menor região limitada pelas curvas [tex3]y=x^{2}[/tex3] e [tex3]x^{2}-2x+y^{2}=0[/tex3].

[Cardoso1979]

Observe

Solução

x² - 2x + y² = 0

x² - 2x + 1 + y² = 1

( x - 1 )^2 + ( y - 0 )^2 = 1 → circunferência de centro C( 1 , 0 ) e raio R = 1.

15272169711492087113169.jpg (48.64 KiB) Exibido 2599 vezes

Passando para coordenadas polares, temos:

x² - 2x + y² = 0

[tex3]\rho^2.cos^2(\theta) -2.\rho.cos(\theta ) + \rho^2.sen^2(\theta)=0 [/tex3]

[tex3]\rho^2 - 2\rho.cos(\theta)=0 [/tex3]

[tex3]\rho =2cos(\theta) [/tex3]

Passando a curva y = x² para coordenada polar, fica;

[tex3]\rho.sen(\theta) = \rho^2.cos^2(\theta )[/tex3]

[tex3]\rho = \frac{sen(\theta )}{cos^2(\theta) }[/tex3]

Daí;

[tex3]\frac{sen(\theta )}{cos^2(\theta) }\leq \rho \leq 2cos(\theta ) [/tex3]

Por outro lado;

[tex3]\rho = \rho [/tex3]( intersecção )

[tex3]2cos(\theta )=\frac{sen(\theta) }{cos^2(\theta )}[/tex3]

Fazendo manipulação algébrica e usando identidade trigonométrica, resulta;

[tex3]tg^3(\theta)+tg(\theta )-2 =0[/tex3]

Então;

tg [tex3](\theta) [/tex3]=1 , logo; [tex3]\theta = \frac{π}{4}[/tex3]

Daí;

[tex3]0 ≤ \theta ≤ \frac{π}{4} [/tex3]

Logo, a área da menor região limitada pelas curvas dadas será dada por:

[tex3]A = \int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\int\limits_{\frac{sen\theta }{cos^2\theta }}^{2cos\theta }\rho d\rho d\theta [/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}[\frac{\rho^2 }{2}]_{\frac{sen\theta }{cos^2\theta }}^{2cos\theta }d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}(4cos^2\theta -\frac{sen^2\theta }{cos^4\theta })d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.[\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}4.cos^2\theta d\theta -\int\limits_{
0}^{\frac{π}{4}}tg^2\theta .sec^2\theta d\theta ][/tex3]

Obs. Para resolver a primeira integral faça cos² [tex3]\theta [/tex3]= (1/2) + { [ cos (2 [tex3]\theta [/tex3]) ]/2 } e para resolver a segunda chame u = tg [tex3]\theta [/tex3]→ du = sec² [tex3]\theta [/tex3] d [tex3]\theta [/tex3].

Resulta;

[tex3]A=\frac{1}{2}.[2\theta + sen(2\theta )-\frac{tg^3\theta }{3}]_{0}^{\frac{π}{4}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.( \frac{π}{2} + 1 - \frac{1}{3})[/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.( \frac{3π + 4}{6})[/tex3]

Portanto;

[tex3]A= \frac{3π + 4}{12}u.a.[/tex3]

Bons estudos!

[fortran]

Com todo o respeito Cardoso1979, mas sua resolução não está correta...

Suas conclusões sobre os gráficos está certa. De fato, se trata de uma circunferência e uma parábola. Mas sempre tome muito cuidado ao traçar o esboço do gráfico na mão livre mesmo, sem fazer maiores análises. Observe o gráfico abaixo:

ST4.jpg (71.1 KiB) Exibido 2596 vezes

O ponto em que elas se interceptam é [tex3]x=1[/tex3], exatamente sobre o centro da circunferência (este valor pode ser obtido igualando as duas equações). Assim, a área da região azul poderia ser facilmente calculada considerando que a área de 1/4 deste círculo é [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] e que equivale a área azul + vermelha. A área vermelha é a área abaixo da parábola e é simplesmente:

[tex3]\Rightarrow \int \limits_{0}^{1} x^{2} dx=\frac{1}{3}[/tex3]

Logo, a área azul buscada é:

[tex3]\Rightarrow A=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}[/tex3]

E estaria pronta a questão... Mas não é o caso pois ele pede para calcular esta área através de integrais de linha. Para isso, utilizamos o Teorema de Green que estabelece (dentro de certas condições) que:

[tex3]\oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\iint _{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA [/tex3]

Que estabelece uma relação entre a integração dupla sobre uma região [tex3]R[/tex3] e a integral de linha ao longo da borda dessa região (a borda da região é denotado por [tex3]\partial R[/tex3]). Assim, para uma integral de linha sobre um caminho fechado representar a área da região que este caminho delimita, precisamos que o integrando da integral dupla seja 1. Existe várias formas para fazermos isto, vou tomar o exemplo onde [tex3]P=0[/tex3] e [tex3]Q=x[/tex3]. Assim, a integral de linha que representa a área se reduz para:

[tex3]\Rightarrow A(R)=\oint _{\partial R}xdy[/tex3]

Iremos dividir nosso caminho [tex3]C=C_{1} \cup C_{2} [/tex3], onde [tex3]C_{1}[/tex3] será o arco da parábola e [tex3]C_{2}[/tex3] será a volta pela circunferência.

(I) Primeiro caminho.

Uma parametrização para este caminho é:

[tex3]\begin{cases}
x(t)=t \Leftrightarrow dx=dt\\
y(t)=t^{2} \Leftrightarrow dy=2tdt \\
0\le t \le 1\\
\end{cases}[/tex3]

Assim:

[tex3]\Rightarrow \int _{C_{1}}xdy=\int \limits_{0}^{1} 2t^{2}dt=\frac{2}{3}[/tex3]

(II) Segundo caminho.

Uma parametrização para este caminho é:

[tex3]\begin{cases}
x(t)=1+\cos t \Leftrightarrow dx=-\sen t \ dt\\
y(t)=\sen t \Leftrightarrow dy=\cos t \ dt \\
\pi/2 \le t \le \pi\\
\end{cases}[/tex3]

Assim:

[tex3]\Rightarrow \int _{C_{2}}xdy=\int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos t + \cos^{2} t)dt=\frac{\pi}{4}-1[/tex3]

E portanto, a área é:

[tex3]\Rightarrow A(R)=\frac{2}{3}+\frac{\pi}{4}-1=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}[/tex3]

Que é o mesmo resultado obtido anteriormente, mas agora através de integrais de linha.

[Cardoso1979]

Com todo o respeito Cardoso1979, mas sua resolução não está correta...

Suas conclusões sobre os gráficos está certa. De fato, se trata de uma circunferência e uma parábola. Mas sempre tome muito cuidado ao traçar o esboço do gráfico na mão livre mesmo, sem fazer maiores análises. Observe o gráfico abaixo:

ST4.jpg

O ponto em que elas se interceptam é [tex3]x=1[/tex3], exatamente sobre o centro da circunferência (este valor pode ser obtido igualando as duas equações). Assim, a área da região azul poderia ser facilmente calculada considerando que a área de 1/4 deste círculo é [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] e que equivale a área azul + vermelha. A área vermelha é a área abaixo da parábola e é simplesmente:

[tex3]\Rightarrow \int \limits_{0}^{1} x^{2} dx=\frac{1}{3}[/tex3]

Logo, a área azul buscada é:

[tex3]\Rightarrow A=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}[/tex3]

E estaria pronta a questão... Mas não é o caso pois ele pede para calcular esta área através de integrais de linha. Para isso, utilizamos o Teorema de Green que estabelece (dentro de certas condições) que:

[tex3]\oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\iint _{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA [/tex3]

Que estabelece uma relação entre a integração dupla sobre uma região [tex3]R[/tex3] e a integral de linha ao longo da borda dessa região (a borda da região é denotado por [tex3]\partial R[/tex3]). Assim, para uma integral de linha sobre um caminho fechado representar a área da região que este caminho delimita, precisamos que o integrando da integral dupla seja 1. Existe várias formas para fazermos isto, vou tomar o exemplo onde [tex3]P=0[/tex3] e [tex3]Q=x[/tex3]. Assim, a integral de linha que representa a área se reduz para:

[tex3]\Rightarrow A(R)=\oint _{\partial R}xdy[/tex3]

Iremos dividir nosso caminho [tex3]C=C_{1} \cup C_{2} [/tex3], onde [tex3]C_{1}[/tex3] será o arco da parábola e [tex3]C_{2}[/tex3] será a volta pela circunferência.

(I) Primeiro caminho.

Uma parametrização para este caminho é:

[tex3]\begin{cases}
x(t)=t \Leftrightarrow dx=dt\\
y(t)=t^{2} \Leftrightarrow dy=2tdt \\
0\le t \le 1\\
\end{cases}[/tex3]

Assim:

[tex3]\Rightarrow \int _{C_{1}}xdy=\int \limits_{0}^{1} 2t^{2}dt=\frac{2}{3}[/tex3]

(II) Segundo caminho.

Uma parametrização para este caminho é:

[tex3]\begin{cases}
x(t)=1+\cos t \Leftrightarrow dx=-\sen t \ dt\\
y(t)=\sen t \Leftrightarrow dy=\cos t \ dt \\
\pi/2 \le t \le \pi\\
\end{cases}[/tex3]

Assim:

[tex3]\Rightarrow \int _{C_{2}}xdy=\int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos t + \cos^{2} t)dt=\frac{\pi}{4}-1[/tex3]

E portanto, a área é:

[tex3]\Rightarrow A(R)=\frac{2}{3}+\frac{\pi}{4}-1=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}[/tex3]

Que é o mesmo resultado obtido anteriormente, mas agora através de integrais de linha.

Verdade, vlw pela correção