Ensino Superior ⇒ Geometria e (questão facil) Tópico resolvido

[CAPITÃOVERDI]

Considere, num referencial ortonormado Oxyz, duas retas r e s, definidas por:
r: (x, y, z) = (5, 1, 1) + k(1, -3, -2)
s: (x, y, z) = (3, 0, -2) + k(-3, 2, -1)

28.1. Mostre que as retas r e s definem um plano.
28.2. Mostre que o plano [tex3]\beta [/tex3], definido pelas retas r e s, é perpendicular ao plano [tex3]\alpha [/tex3] definido pela equção 2x - y - z = 0.
28.3. Determine, em graus, a amplitude do ângulo formado pelos vetores [tex3]\vec{r}[/tex3](1, -3, -2) e [tex3]\vec{s}[/tex3](-3, 2, -1)

Eu realmente não consegui o primeiro ítem. Tentei resolver igualando as coordenadas de r e s para encontrar o ponto de intersecção entre as retas mas não há um k de intersecção comum.

[CAPITÃOVERDI]

up............................................................

[Cardoso1979]

Observe

Primeiramente, duas retas determinam um plano, quando elas são concorrentes( cruzam-se ) ou quando elas são paralelas distintas. Neste caso, como os vetores diretores não são múltiplos entre si e o "produto misto" é nulo, as retas r e s são concorrentes.

Solução

Para mostrar que r e s definem um plano, procedemos da seguinte maneira, o vetor diretor da reta r , u = < 1 , - 3 , - 2 > é paralelo ao plano a ser determinado, analogamente o vetor diretor da reta s , v = < - 3 , 2 , - 1 > também é paralelo ao plano, logo o produto vetorial

[tex3]\vec{n}=\vec{u}X\vec{v}=\begin{bmatrix}
\vec{i}\ & \vec{j}\ & \vec{k}\\
\ 1& -3\ & -2\\
\ -3& \ 2& -1\\
\end{bmatrix}[/tex3]

Calculando o determinante acima, resulta;

[tex3]\vec{u}X\vec{v}=7\vec{i}+7\vec{j}-7\vec{k} [/tex3]

Então;

[tex3]\vec{n}= ( 7,7,-7)=7.(1,1,-1)[/tex3]

é normal ao plano a ser determinado. Usando essa normal e ponto P( 5 , 1 , 1 ) [tex3]\in [/tex3] a r ( você poderia também tomar o ponto Q( 3 , 0 , - 2 ) [tex3]\in [/tex3] a s ), obtemos uma equação para o plano, veja;

1.( x - 5 ) + 1.( y - 1 ) - 1.( z - 1 ) = 0

x - 5 + y - 1 - z + 1 = 0

Portanto;

x + y - z = 5 , c.q.m.


Bons estudos!!

[CAPITÃOVERDI]

Obrigado, mas consegui entender metade dessa resolução. No meu livro não tem nada de aplicação de matrizes em geometria vetorial.
Qual a teoria por trás disso? Ao resolver o determinante de dois vetores e um genérico se encontra um plano determinado por eles? Aí os coeficientes da equação são os do vetor perpendicular, determinando um plano.


Estou especulando, há alguma regra, algum video que eu possa usar para entender e aprender esse método?

[Cardoso1979]

Obrigado, mas consegui entender metade dessa resolução. No meu livro não tem nada de aplicação de matrizes em geometria vetorial.
Qual a teoria por trás disso? Ao resolver o determinante de dois vetores e um genérico se encontra um plano determinado por eles? Aí os coeficientes da equação são os do vetor perpendicular, determinando um plano.


Estou especulando, há alguma regra, algum video que eu possa usar para entender e aprender esse método?

Infelizmente eu não tenho nenhum vídeo, mais é exatamente esse o raciocínio, porém acredito que deva ter outro método.

[CAPITÃOVERDI]

maravilha, ja entendi. Vou tentar aplicar esse método para aprender pois é bem prático