Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Pará - 2003) Fração

[Auto Excluído (ID:20808)]

Prove que [tex3]\frac{2001}{2}-\frac{2000}{3}+\frac{1999}{4}-\frac{1998}{5}+...-\frac{2}{2001}+\frac{1}{2002}=\frac{1}{1002}+\frac{3}{1003}+\frac{5}{1004}+...+\frac{2001}{2002}[/tex3]

[Vinisth]

Olá caro, amigo !

O jeito é resolver no braço
DICA: Perceba que enquanto há uma unidade decrescida no numerador há também uma acrescida no denominador. O problema é perceber uma manipulação boba, para colocarmos todos no mesmo fator. Veja:
[tex3]\frac{2001}{2}-\frac{2000}{3}+\frac{1999}{4}-\frac{1998}{5}+...-\frac{2}{2001}+\frac{1}{2002}=[/tex3]
[tex3]=\frac{2001}{2}+1-\frac{2000}{3}-1+\frac{1999}{4}+1-\frac{1998}{5}-1+...-\frac{2}{2001}-1+\frac{1}{2002}+1-1=[/tex3]
[tex3]2003\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}\right)-1[/tex3]
Acho que ficou bem mais fácil. Consegue agora ?

Um forte abraço !

[Vinisth]

Agora que me deparei que o dono do tópico deletou o perfil. Vou terminar a solução, neste caso. Para que outras pessoas vejam
[tex3]2003\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}\right)-1=[/tex3]
[tex3]=2003\left[\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-...-\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\right)+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2002}\right)\right]-1=[/tex3]
[tex3]=2003\left[\left(\cancel{-\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}-\cancel{\frac{1}{5}}-...-\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\right)+\left(1+\cancel{\frac12}+\cancel{\frac13}+\cdots+\cancel{\frac{1}{1001}}\right)\right]-1=[/tex3]
[tex3]=2003\left(1-\frac{1}{1002}-\frac{1}{1003}-\frac{1}{1004}-\frac{1}{1005}-\cdots-\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\right)-1=[/tex3]
[tex3]=2003-\frac{2003}{1002}-\frac{2003}{1003}-\frac{2003}{1004}-\frac{2003}{1005}-\cdots-\frac{2003}{2001}-\frac{2003}{2002}-1=[/tex3]
Processo é similar ao inicial, porém de maneira oposta e neste caso vamos somar e subtrair 2 em 1001 vezes (1001 número de termos), chegando na identidade desejada.
[tex3]=2003-\frac{2003}{1002}+2-\frac{2003}{1003}+2-\frac{2003}{1004}+2-\frac{2003}{1005}+2-\cdots-\frac{2003}{2001}+2-\frac{2003}{2002}+2-(2\cdot1001)-1=[/tex3]
[tex3]=\boxed{\frac{1}{1002}+\frac{3}{1003}+\frac{5}{1004}+...+\frac{2001}{2002}}[/tex3]