Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Campina Grande - 2002) Fração Algébrica Tópico resolvido

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Se a, b e c são números reais não nulos tais que [tex3]\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}[/tex3], e [tex3]x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}[/tex3] e [tex3]x<0[/tex3]. Então, x é igual a:

a) -2
b) -4
c) -6
d) -9
e) -1

Resposta

---

e

[Winston]

Se [tex3]a+b+c \neq 0[/tex3]

[tex3]\frac{a+b-c}{c} = \frac{a-b+c}{b} = \frac{-a+b+c}{a}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]\frac{(a+b-c) + (a-b+c) + (-a+b+c)}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{c} \rightarrow [/tex3]

[tex3]\frac{a+b+c}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{c} \rightarrow [/tex3]

[tex3]\frac{a+b-c}{c} = 1 \rightarrow [/tex3]

[tex3]a+b = 2c[/tex3], [tex3]a+c = 2b[/tex3], [tex3]b+c=2a[/tex3]

Substituindo,

[tex3]x = \frac{(2c)(2b)(2a)}{abc} = 8,[/tex3] absurdo pois [tex3]x<0,[/tex3] logo
[tex3]a+b+c = 0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]a+b = -c[/tex3]
[tex3]b+c = -a[/tex3]
[tex3]a+c = -b[/tex3]

Substituindo em x,
[tex3]x = \frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} = -1[/tex3]